Determine para quais valores de x em R a função f(x) dada a seguir é contínua: f(x) = { (x^2 + x - 6) / (x + 3), se x ≠ -3; 1, se x = -3 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras diferentes: uma para qualquer valor de que não seja e outra especificamente para . O objetivo aqui é descobrir para quais valores de essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se a função se comporta bem em todos os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, não tem “quebras” ou “saltos”. Aqui, a gente precisa verificar isso especialmente no ponto onde a função muda de definição, que é em .

Passo 3

Vamos analisar a função para . Ela é dada por:
Primeiro, vamos tentar simplificar essa fração. O numerador pode ser fatorado:
Então, a função fica:
Para , podemos simplificar cancelando o :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Já que para , a função é igual a , o limite fica:

Passo 5

Agora, vamos comparar esse limite com o valor de quando . Pelo enunciado, temos:
Vemos que o limite é diferente de . Isso significa que há uma descontinuidade no ponto .

Resposta

A função é contínua para todo , exceto em .

Exercícios relacionados