Determine para quais valores de
a função
dada a seguir é contínua:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é definida de duas maneiras diferentes: uma para qualquer valor de
que não seja
e outra especificamente para
. O objetivo aqui é descobrir para quais valores de
essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se a função se comporta bem em todos os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, não tem “quebras” ou “saltos”. Aqui, a gente precisa verificar isso especialmente no ponto onde a função muda de definição, que é em
.
Passo 3
Vamos analisar a função para
. Ela é dada por:
Primeiro, vamos tentar simplificar essa fração. O numerador pode ser fatorado:
Então, a função fica:
Para
, podemos simplificar cancelando o
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Já que para
, a função é igual a
, o limite fica:
Passo 5
Agora, vamos comparar esse limite com o valor de
quando
. Pelo enunciado, temos:
Vemos que o limite
é diferente de
. Isso significa que há uma descontinuidade no ponto
.
Resposta
A função
é contínua para todo
, exceto em
.