Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da raiz para verificar se a série
converge. Então, o que a gente vai precisar aqui é entender como aplicar esse teste da raiz, que ajuda a analisar o comportamento de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da raiz. Esse teste olha para o limite
, onde
é o termo geral da série. Se esse limite for:
- Menor que 1: a série converge.
- Maior que 1: a série diverge.
- Igual a 1: o teste não dá informação, precisamos tentar outro método.
Passo 3
Agora, vamos identificar qual é o nosso
na série que temos. Aqui,
. Nossa tarefa é calcular
.
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. A raiz n-ésima de um quociente é igual ao quociente das raízes n-ésimas. Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada parte separadamente:
-
Para o numerador
: - Podemos reescrever
como . - Então,
.
- Podemos reescrever
-
Para o denominador
: - Sabemos que
, porque a raiz n-ésima de tende a 1 conforme cresce.
- Sabemos que
Passo 6
Agora, juntando as duas partes:
Sabemos que
é aproximadamente 97.4091, que é claramente maior que 1.
Resposta
Como o limite
, pelo teste da raiz a série
diverge.