Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
sumn=1^infty pi^4 nn.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da raiz para verificar se a série sumn=1^infty pi^4 nn converge. Então, o que a gente vai precisar aqui é entender como aplicar esse teste da raiz, que ajuda a analisar o comportamento de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da raiz. Esse teste olha para o limite limn to infty raiz[n]|an|, onde an é o termo geral da série. Se esse limite for:
  • Menor que 1: a série converge.
  • Maior que 1: a série diverge.
  • Igual a 1: o teste não dá informação, precisamos tentar outro método.

Passo 3

Agora, vamos identificar qual é o nosso an na série que temos. Aqui, an = pi^4 nn. Nossa tarefa é calcular limn to infty raiz[n]pi^4 nn.

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. A raiz n-ésima de um quociente é igual ao quociente das raízes n-ésimas. Então:
raiz[n]pi^4 nn = raiz[n]pi^4 nraiz[n]n

Passo 5

Agora, vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Para o numerador raiz[n]pi^4 n:
    • Podemos reescrever pi^4 n como (pi^4)^n.
    • Então, raiz[n](pi^4)^n = pi^4.
  2. Para o denominador raiz[n]n:
    • Sabemos que limn to infty raiz[n]n = 1, porque a raiz n-ésima de n tende a 1 conforme n cresce.

Passo 6

Agora, juntando as duas partes:
limn to infty pi^41 = pi^4
Sabemos que pi^4 é aproximadamente 97.4091, que é claramente maior que 1.

Resposta

Como o limite pi^4 > 1, pelo teste da raiz a série sumn=1^infty pi^4 nn diverge.

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