Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar qual das séries apresentadas converge utilizando o teste da raiz. A série que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o teste da raiz e aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries infinitas. Ele funciona assim:
- Calculamos o limite da raiz n-ésima do termo geral da série.
- Se esse limite for menor que 1, a série converge.
- Se for maior que 1, a série diverge.
- Se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Então, vamos aplicar isso à nossa série.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da nossa série, que é:
Agora, queremos encontrar:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, temos:
Passo 5
Aplicando o teste da raiz:
Como o limite é igual a 1, o teste da raiz é inconclusivo. Isso significa que não podemos determinar a convergência ou divergência da série apenas com esse teste. Precisaríamos usar um teste diferente para chegar a uma conclusão.
Resposta
Após aplicar o teste da raiz, o limite resultou em 1, tornando o teste inconclusivo. Portanto, o teste da raiz não permite concluir a convergência da série apresentada.