Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
sumn=1^infty(12+2 n^2+34 n^2)^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar qual das séries apresentadas converge utilizando o teste da raiz. A série que vamos analisar é:
sumn=1^infty(12+2 n^2+34 n^2)^n
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o teste da raiz e aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries infinitas. Ele funciona assim:
  1. Calculamos o limite da raiz n-ésima do termo geral da série.
  2. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
  3. Se for maior que 1, a série diverge.
  4. Se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Então, vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série, que é:
an = (12+2 n^2+34 n^2)^n
Agora, queremos encontrar:
limn to infty raiz[n]an = limn to infty (12+2 n^2+34 n^2)

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
12 + 2n^2 + 34n^2 = 12 + 2n^24n^2 + 34n^2 = 12 + 12 + 34n^2 = 1 + 34n^2
Então, temos:
limn to infty (1 + 34n^2) = 1

Passo 5

Aplicando o teste da raiz:
Como o limite é igual a 1, o teste da raiz é inconclusivo. Isso significa que não podemos determinar a convergência ou divergência da série apenas com esse teste. Precisaríamos usar um teste diferente para chegar a uma conclusão.

Resposta

Após aplicar o teste da raiz, o limite resultou em 1, tornando o teste inconclusivo. Portanto, o teste da raiz não permite concluir a convergência da série apresentada.

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