Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
E a pergunta é: Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série? Vamos usar o Teste da Raiz para descobrir se essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita da forma
analisando o limite:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste não conclui nada.
No nosso caso,
, então precisamos calcular:
Passo 3
Simplificando a expressão do limite:
Então, nosso limite fica:
Passo 4
Para calcular esse limite, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por
, que é o maior grau de
presente:
Quando
tende a infinito, os termos com
,
e
tendem a zero. Então, simplificamos:
Passo 5
Agora que temos o valor do limite
, vamos aplicar o Teste da Raiz:
- Como
, a série diverge segundo o Teste da Raiz.
Resposta
A aplicação do Teste da Raiz mostra que a série diverge.