Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
sumn=1^infty(2 n^3+3 n^2-7 nn^3-9 n+700)^n.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty(2 n^3+3 n^2-7 nn^3-9 n+700)^n
E a pergunta é: Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série? Vamos usar o Teste da Raiz para descobrir se essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita da forma L = limn to infty raiz[n]|an| analisando o limite:
L = limn to infty raiz[n](2 n^3+3 n^2-7 nn^3-9 n+700)^n
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui nada.
No nosso caso, , então precisamos calcular:

Passo 3

Simplificando a expressão do limite:
raiz[n](2 n^3+3 n^2-7 nn^3-9 n+700)^n = 2 n^3+3 n^2-7 nn^3-9 n+700
Então, nosso limite fica:
L = limn to infty 2 n^3+3 n^2-7 nn^3-9 n+700

Passo 4

Para calcular esse limite, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por L = limn to infty 2 + 3n - 7n^21 - 9n^2 + 700n^3 , que é o maior grau de L = 2 + 0 - 01 - 0 + 0 = 21 = 2 presente:
Quando tende a infinito, os termos com , e tendem a zero. Então, simplificamos:

Passo 5

Agora que temos o valor do limite , vamos aplicar o Teste da Raiz:
  • Como , a série diverge segundo o Teste da Raiz.

Resposta

A aplicação do Teste da Raiz mostra que a série diverge.

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