Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique. integral0^+infty e^-s t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para dizer se a integral imprópria integral0^+infty e^-s t d t converge ou diverge. Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar integrais com limites infinitos e usar propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Nesse caso, temos um limite superior que vai até o infinito, então a gente precisa ver o comportamento da função quando cresce sem parar. A função que estamos integrando é , onde é uma constante positiva.

Passo 3

Sabemos que a função exponencial decai rapidamente à medida que aumenta, especialmente porque . Isso já nos dá uma dica de que a área sob a curva pode ser finita, o que indicaria convergência.

Passo 4

Vamos calcular a integral definida de integral0^A e^-s t d t a - 1s e^-s t , onde é um número qualquer positivo, e depois ver o que acontece quando tende ao infinito:
A integral de é bem conhecida. A antiderivada de em relação a é:

Passo 5

Aplicando os limites de integração, temos:
[ - 1s e^-s t ]0^A = - 1s e^-s A - ( - 1s e^0 ) = - 1s e^-s A + 1s

Passo 6

Agora, vamos analisar o que acontece quando limA to +infty ( - 1s e^-s A + 1s ) = 0 + 1s = 1s tende ao infinito:
Isso significa que a integral converge para .

Resposta

A integral imprópria integral0^+infty e^-s t d t é convergente e seu valor é 1s.

Exercícios relacionados