Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para dizer se a integral imprópria
converge ou diverge. Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar integrais com limites infinitos e usar propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Nesse caso, temos um limite superior que vai até o infinito, então a gente precisa ver o comportamento da função quando
cresce sem parar. A função que estamos integrando é
, onde
é uma constante positiva.
Passo 3
Sabemos que a função exponencial
decai rapidamente à medida que
aumenta, especialmente porque
. Isso já nos dá uma dica de que a área sob a curva pode ser finita, o que indicaria convergência.
Passo 4
Vamos calcular a integral definida de
a
, onde
é um número qualquer positivo, e depois ver o que acontece quando
tende ao infinito:
A integral de
é bem conhecida. A antiderivada de
em relação a
é:
Passo 5
Aplicando os limites de integração, temos:
Passo 6
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito:
Isso significa que a integral converge para
.
Resposta
A integral imprópria
é convergente e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Determine os limites se existirem:
Determine os limites se existirem:
a)
Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.