Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para dizer se a integral imprópria converge ou diverge. Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar integrais com limites infinitos e usar propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Nesse caso, temos um limite superior que vai até o infinito, então a gente precisa ver o comportamento da função quando cresce sem parar. A função que estamos integrando é , onde é uma constante positiva.

Passo 3

Sabemos que a função exponencial decai rapidamente à medida que aumenta, especialmente porque . Isso já nos dá uma dica de que a área sob a curva pode ser finita, o que indicaria convergência.

Passo 4

Vamos calcular a integral definida de a , onde é um número qualquer positivo, e depois ver o que acontece quando tende ao infinito:
A integral de é bem conhecida. A antiderivada de em relação a é:

Passo 5

Aplicando os limites de integração, temos:

Passo 6

Agora, vamos analisar o que acontece quando tende ao infinito:
Isso significa que a integral converge para .

Resposta

A integral imprópria é convergente e seu valor é .

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Determine os limites se existirem:
Determine os limites se existirem:
) Calcule as frações e, se possível, simplifique o resultado.
a)
Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.