Determine os limites se existirem: lim x +infty(1+1x)^a x, a neq 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para achar o limite de (1+1x)^a x quando x tende ao infinito, com a diferente de zero. A gente vai usar conceitos de limites e exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, pra facilitar, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão. Isso ajuda a simplificar potências complicadas. Então, vamos considerar o logaritmo natural do limite que queremos encontrar.

Passo 3

Aplicando o logaritmo, temos:
ln((1+1x)^a x) = a x cdot ln(1 + 1x)
Agora, nosso objetivo é achar o limite dessa nova expressão.

Passo 4

Vamos analisar o limite de a x cdot ln(1 + 1x) quando x vai para mais infinito. Sabemos que, para valores grandes de x, ln(1 + 1x) pode ser aproximado por 1x.

Passo 5

Substituindo essa aproximação, temos:
a x cdot 1x = a
Ou seja, o limite dessa expressão é simplesmente a.

Passo 6

Então, concluímos que:
limx +infty a x cdot ln(1 + 1x) = a

Passo 7

Agora, lembrando que usamos o logaritmo no começo, voltamos para a função exponencial para encontrar o limite original:
limx +infty(1+1x)^a x = e^a

Resposta

limx +infty(1+1x)^a x = e^a

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