Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique. integral0^+infty e^-s t sen(a t) d t

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Isso envolve cálculo de integrais no cálculo integral, especialmente lidando com funções exponenciais e trigonométricas. A gente vai precisar usar a fórmula de integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas e entender o comportamento delas no infinito para decidir a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função é uma função exponencial de decaimento, e é uma função senoidal que oscila entre -1 e 1. A interação dessas duas funções vai determinar se a integral converge ou não.

Passo 3

A fórmula da integral de uma exponencial multiplicada por uma senoide é:
integral e^-s t sin(a t) , dt = e^-s t (s sin(a t) - a cos(a t))s^2 + a^2 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos avaliar o limite dessa expressão de 0 a [ e^-s t (s sin(a t) - a cos(a t))s^2 + a^2 ]0^+infty :
e^0 (s sin(0) - a cos(0))s^2 + a^2 = 0 - as^2 + a^2 = -as^2 + a^2
No limite quando , tende a 0 porque . Já quando :

Passo 5

Subtraindo os valores, temos:
0 - (-as^2 + a^2) = as^2 + a^2
Esse valor é finito desde que seja positivo.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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