Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Isso envolve cálculo de integrais no cálculo integral, especialmente lidando com funções exponenciais e trigonométricas. A gente vai precisar usar a fórmula de integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas e entender o comportamento delas no infinito para decidir a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
é uma função exponencial de decaimento, e
é uma função senoidal que oscila entre -1 e 1. A interação dessas duas funções vai determinar se a integral converge ou não.
Passo 3
A fórmula da integral de uma exponencial multiplicada por uma senoide é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos avaliar o limite dessa expressão de 0 a
:
No limite quando
,
tende a 0 porque
. Já quando
:
Passo 5
Subtraindo os valores, temos:
Esse valor é finito desde que
seja positivo.
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.