Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Isso envolve cálculo de integrais no cálculo integral, especialmente lidando com funções exponenciais e trigonométricas. A gente vai precisar usar a fórmula de integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas e entender o comportamento delas no infinito para decidir a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função é uma função exponencial de decaimento, e é uma função senoidal que oscila entre -1 e 1. A interação dessas duas funções vai determinar se a integral converge ou não.

Passo 3

A fórmula da integral de uma exponencial multiplicada por uma senoide é:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos avaliar o limite dessa expressão de 0 a :
No limite quando , tende a 0 porque . Já quando :

Passo 5

Subtraindo os valores, temos:
Esse valor é finito desde que seja positivo.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

Exercícios relacionados

Identifique o tipo de singularidade de cada função; e no caso de pólo determine sua ordem e o resíduo da função em cada pólo.
(a) pontos .
(b) pontos .
Determine os limites se existirem:
Se é um zero das funções e , de ordens e , respectivamente, prove que ele é um zero de ordem da função . Tem-se que é, também, um zero da função , neste caso qual é a sua ordem?
Esboce as superfícies