Identifique o tipo de singularidade de cada função; e no caso de pólo determine sua ordem e o resíduo da função em cada pólo.
(a) pontos .
(b) pontos .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos identificar o tipo de singularidade de cada função dadas, e se for um pólo, determinar sua ordem e o resíduo em cada pólo. Vamos usar conceitos de análise complexa, como singularidades, pólos e resíduos.

Parte (a)

Passo 2

Vamos analisar onde a função apresenta singularidades. A função tem o denominador igual a zero quando . Portanto, é um ponto de singularidade.

Passo 3

Para identificar o tipo de singularidade em , vamos expandir o numerador em série de Taylor:
Assim,
Isso mostra que o numerador é da ordem perto de .

Passo 4

A função então se comporta como:
Isso indica que é um pólo de ordem 3.

Passo 5

Para encontrar o resíduo no pólo , observamos que o resíduo é o coeficiente de na expansão de Laurent da função. Como a função se comporta como , não há termo em , então o resíduo é 0.

Parte (b)

Passo 6

Agora, vamos analisar a função . As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, quando ou quando . Sabemos que para , onde é um número inteiro.

Passo 7

Primeiro, consideramos . Expansão do denominador perto de :
Portanto,
Isso mostra que é um pólo de ordem 2.

Passo 8

O resíduo em é o coeficiente de na expansão de Laurent, que aqui é 1.

Passo 9

Agora, consideramos as singularidades em , onde . Perto de , temos:
Portanto,
Isso indica que cada é um pólo simples (de ordem 1).

Passo 10

O resíduo em cada pólo é:
í

Resposta

(a) A função possui um pólo de ordem 3 em com resíduo igual a 0.
(b) A função possui:
  • Um pólo de ordem 2 em com resíduo igual a 1.
  • Pólos simples em para todo inteiro , com resíduo igual a .

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