Identifique o tipo de singularidade de cada função; e no caso de pólo determine sua ordem e o resíduo da função em cada pólo.
(a)
pontos
.
(b)
pontos
.
(a)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos identificar o tipo de singularidade de cada função dadas, e se for um pólo, determinar sua ordem e o resíduo em cada pólo. Vamos usar conceitos de análise complexa, como singularidades, pólos e resíduos.
Parte (a)
Passo 2
Vamos analisar onde a função apresenta singularidades. A função
tem o denominador igual a zero quando
. Portanto,
é um ponto de singularidade.
Passo 3
Para identificar o tipo de singularidade em
, vamos expandir o numerador em série de Taylor:
Assim,
Isso mostra que o numerador é da ordem
perto de
.
Passo 4
A função então se comporta como:
Isso indica que
é um pólo de ordem 3.
Passo 5
Para encontrar o resíduo no pólo
, observamos que o resíduo é o coeficiente de
na expansão de Laurent da função. Como a função se comporta como
, não há termo em
, então o resíduo é 0.
Parte (b)
Passo 6
Agora, vamos analisar a função
. As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, quando
ou quando
. Sabemos que
para
, onde
é um número inteiro.
Passo 7
Primeiro, consideramos
. Expansão do denominador perto de
:
Portanto,
Isso mostra que
é um pólo de ordem 2.
Passo 8
O resíduo em
é o coeficiente de
na expansão de Laurent, que aqui é 1.
Passo 9
Agora, consideramos as singularidades em
, onde
. Perto de
, temos:
Portanto,
Isso indica que cada
é um pólo simples (de ordem 1).
Passo 10
O resíduo em cada pólo
é:
Resposta
(a) A função
possui um pólo de ordem 3 em
com resíduo igual a 0.
(b) A função
possui:
- Um pólo de ordem 2 em
com resíduo igual a 1. - Pólos simples em
para todo inteiro , com resíduo igual a .
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Se
é um zero das funções
e
, de ordens
e
, respectivamente, prove que ele é um zero de ordem
da função
. Tem-se que
é, também, um zero da função
, neste caso qual é a sua ordem?