Determine os limites. g lim x -infty raiz[3]x-raiz[5]xraiz[3]x+raiz[5]x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite da função quando tende a menos infinito. Isso envolve conceitos de limites e propriedades de funções de potências com raízes. Para resolver, vamos analisar como as diferentes raízes se comportam quando fica muito grande e negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as raízes que aparecem na função. A é a raiz cúbica de e a é a raiz quinta de . Ambas são funções ímpares, o que significa que e o mesmo para a quinta raiz. Isso nos ajuda a simplificar a expressão quando é negativo.

Passo 3

Quando tende a menos infinito, queremos ver qual termo domina no numerador e no denominador. Como as raízes cúbica e quinta de crescem a taxas diferentes, vamos identificar qual delas cresce mais rapidamente em módulo. A raiz cúbica cresce mais rápido que a quinta raiz quando vai para infinito negativo.

Passo 4

Para simplificar, podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador pela raiz[3]x - raiz[5]xraiz[3]x + raiz[5]x = 1 - raiz[5]xraiz[3]x1 + raiz[5]xraiz[3]x , que é a raiz dominante. Isso fica assim:
Agora, precisamos analisar o termo .

Passo 5

Simplificando 15 - 13 = 3 - 515 = -215 , podemos reescrever como . Calculando o expoente:
Então, .

Passo 6

Agora, olhando para limx to -infty x^-2/15 = 0 quando tende a menos infinito, sabemos que uma potência negativa faz o valor tender a zero. Portanto:
Isso simplifica nossa expressão anterior para:

Passo 7

Com 1 - 01 + 0 = 11 = 1 tendendo a zero, a expressão fica:

Resposta

O limite é igual a 1.

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