Determine os limites no infinito: lim x +infty(x^6+2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite, quando vai para mais infinito, da expressão . A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo de Limites, especificamente limites de funções polinomiais no infinito. Para resolver, vamos precisar entender como os diferentes termos de um polinômio se comportam quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que temos: . Nessa expressão, temos dois termos: e . Quando cresce muito, é importante ver qual desses termos tem um crescimento mais rápido, porque ele vai dominar o comportamento da função.

Passo 3

Vamos lembrar que, para funções polinomiais, o termo com a maior potência de é o que mais influencia o limite no infinito. No nosso caso, é um termo de sexto grau, enquanto é de primeiro grau. Como 6 é maior que 1, o cresce muito mais rápido que conforme aumenta.

Passo 4

Então, para encontrar o limite, podemos focar no termo de maior grau. Isso significa que, à medida que vai para mais infinito, o se torna insignificante comparado com . Portanto, o comportamento da função será praticamente o mesmo de para valores muito grandes de .

Passo 5

Sabendo disso, podemos concluir que:
limx +infty (x^6 + 2x) = limx +infty x^6 + limx +infty 2x
Como e , mas o termo domina, o limite total será .

Resposta

limx +infty (x^6 + 2x) = +infty

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