Determine os limites infinitos. lim x 0 x-1x^2(x+2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado com o estudo de limites, especificamente limites infinitos, que envolvem funções que tendem para mais ou menos infinito quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente quando se aproxima de 0.
  • Numerador: . Quando se aproxima de 0, fica muito pequeno comparado a 1, então .
  • Denominador: . Vamos analisar cada parte:
    • sempre será positivo, já que o quadrado de qualquer número real é positivo. Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0.
    • quando se aproxima de 0, fica próximo de 2.
Então, multiplicando por , temos algo que está se aproximando de , mas o denominador está se aproximando de 0 de forma positiva.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função para facilitar a visualização do limite:
x - 1x^2(x + 2) = -1 + xx^2(x + 2)
Como -1x^2(x + 2) se aproxima de 0, -10^+ times 2 = -10^+ = -infty no numerador pode ser desprezado em relação a , então podemos simplificar para:
Sabemos que tende a 0 e tende a 2. Então, temos:
Aqui, indica que estamos nos aproximando de 0 pelo lado positivo.

Resposta

O limite é .

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