Determine os limites infinitos.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado com o estudo de limites, especificamente limites infinitos, que envolvem funções que tendem para mais ou menos infinito quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente quando
se aproxima de 0.
-
Numerador:
. Quando se aproxima de 0, fica muito pequeno comparado a 1, então . -
Denominador:
. Vamos analisar cada parte: -
sempre será positivo, já que o quadrado de qualquer número real é positivo. Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. -
quando se aproxima de 0, fica próximo de 2.
-
Então, multiplicando
por
, temos algo que está se aproximando de
, mas o denominador está se aproximando de 0 de forma positiva.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função para facilitar a visualização do limite:
Como
se aproxima de 0,
no numerador pode ser desprezado em relação a
, então podemos simplificar para:
Sabemos que
tende a 0 e
tende a 2. Então, temos:
Aqui,
indica que estamos nos aproximando de 0 pelo lado positivo.
Resposta
O limite é
.
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e
tal que
.
.
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, para EDO
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.
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.