Resolva o problema de valor inicial,
, para EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial onde temos uma equação diferencial ordinária (EDO):
O valor inicial dado é
. Para resolver essa EDO, vamos usar técnicas de separação de variáveis e integrar para encontrar a solução geral e, depois, aplicar o valor inicial para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
para facilitar a integração. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, vamos separar as variáveis colocando todos os termos com
de um lado e
do outro:
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, vamos simplificar a fração. Primeiro, reescrevemos
como
:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral à esquerda requer o uso de frações parciais. Vamos decompor
em frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, podemos escolher valores de
:
- Se
:
- Se
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, podemos escrever a integral:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Agora, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos chamar
de outra constante
:
Passo 7
Resolvendo para
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Distribuindo
:
Reunimos os termos com
:
Fatoramos
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo
e
:
Resolvendo para
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
A solução da EDO com a condição inicial
é: