Resolva o problema de valor inicial, y(0) = 2, para EDO
dy/dt = 2y(1 - y/3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial onde temos uma equação diferencial ordinária (EDO):
O valor inicial dado é . Para resolver essa EDO, vamos usar técnicas de separação de variáveis e integrar para encontrar a solução geral e, depois, aplicar o valor inicial para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e para facilitar a integração. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, vamos separar as variáveis colocando todos os termos com de um lado e do outro:

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, vamos simplificar a fração. Primeiro, reescrevemos como :
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral à esquerda requer o uso de frações parciais. Vamos decompor em frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , podemos escolher valores de :
  • Se :
  • Se :
Então, temos:

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Agora, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos chamar de outra constante :

Passo 7

Resolvendo para :
Multiplicamos ambos os lados por :
Distribuindo :
Reunimos os termos com :
Fatoramos :
Finalmente, isolamos :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Substituindo e :
Resolvendo para :
Multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

A solução da EDO com a condição inicial é:

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