Determine os limites: lim x 3^- x-5x^2-9

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite da função quando se aproxima de 3 pela esquerda. Isso está relacionado ao estudo de limites em Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto desse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) . Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x - 5(x - 3)(x + 3)
Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com cada parte da função quando 3 - 5 = -2 se aproxima de 3 pela esquerda (ou seja, valores de um pouquinho menores que 3).
  • O numerador quando está próximo de 3, fica:
Então, o numerador está se aproximando de .

Passo 4

No denominador, temos . Vamos ver cada fator:
  • : Se está chegando perto de 3 pela esquerda, está se aproximando de 0 pelo lado negativo (já que ).
  • : Quando está perto de 3, isso se torna , então está positivo.
Então, o denominador está se aproximando de , mas pelo lado negativo.

Passo 5

Agora, juntando tudo:
x - 5(x - 3)(x + 3) approx -20^-
Isso significa que estamos dividindo um número negativo por um número que está se aproximando de zero pelo lado negativo. Dividir dois negativos dá positivo, e como o denominador está muito perto de zero, o resultado cresce sem limite.

Resposta

Portanto, o limite é .

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