Determine os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o limite
. Isso envolve o estudo de limites em funções trigonométricas, especialmente a tangente. Vamos precisar entender como a tangente se comporta quando o ângulo se aproxima de
pela esquerda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que estamos vendo o que acontece com a expressão à medida que
se aproxima de
vindo de valores menores, ou seja, pela esquerda.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Sabemos que
. Então, para entender o limite, precisamos saber como o seno e o cosseno se comportam quando
está próximo de
.
Passo 4
Vamos ver os valores de
e
em
:
Mas como eles se comportam quando
está se aproximando de
pela esquerda?
Passo 5
Quando
se aproxima de
pela esquerda (digamos,
onde
é um número muito pequeno positivo), temos:
-
(já que para valores pequenos, ) -
(porque para pequeno)
Passo 6
Então, a tangente fica:
Como
se aproxima de
,
se aproxima de
pela parte negativa.
Passo 7
Agora, vamos retornar ao limite original:
À medida que
se aproxima de
pelo lado positivo,
se aproxima de
pelo lado negativo.
Passo 8
Dividir um número positivo fixo (10) por um número que se aproxima de
pelo lado negativo faz com que o resultado do limite vá para menos infinito. Ou seja:
Resposta
Portanto, o limite é
.
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