Determine os limites: lim x pi^- 10tan x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o limite lim x pi^- 10tan x. Isso envolve o estudo de limites em funções trigonométricas, especialmente a tangente. Vamos precisar entender como a tangente se comporta quando o ângulo se aproxima de pi pela esquerda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa lim x pi^-. Isso quer dizer que estamos vendo o que acontece com a expressão à medida que x se aproxima de pi vindo de valores menores, ou seja, pela esquerda.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função tan x. Sabemos que tan x = sin xcos x. Então, para entender o limite, precisamos saber como o seno e o cosseno se comportam quando x está próximo de pi.

Passo 4

Vamos ver os valores de sin x e cos x em x = pi:
  • sin pi = 0
  • cos pi = -1
Mas como eles se comportam quando x está se aproximando de pi pela esquerda?

Passo 5

Quando x se aproxima de pi pela esquerda (digamos, x = pi - h onde h é um número muito pequeno positivo), temos:
  • sin(pi - h) = sin h approx h (já que para valores pequenos, sin h approx h)
  • cos(pi - h) = -cos h approx -1 (porque cos h approx 1 para h pequeno)

Passo 6

Então, a tangente fica:
tan(pi - h) = sin(pi - h)cos(pi - h) approx h-1 = -h
Como h se aproxima de 0, tan(pi - h) se aproxima de 0 pela parte negativa.

Passo 7

Agora, vamos retornar ao limite original:
lim x pi^- 10tan x = lim h 0^+ 10-h
À medida que h se aproxima de 0 pelo lado positivo, -h se aproxima de 0 pelo lado negativo.

Passo 8

Dividir um número positivo fixo (10) por um número que se aproxima de 0 pelo lado negativo faz com que o resultado do limite vá para menos infinito. Ou seja:
10-h -infty quando h 0^+

Resposta

Portanto, o limite é -infty.

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