Encontre as derivadas parciais de segunda ordem para a função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais de segunda ordem para a função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e depois derivar novamente para chegar às derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas mostram como a função muda quando você varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que vamos chamar de
. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia aqui:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. Aplicamos novamente a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Aplicando as regras de derivação:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Aplicando as regras de derivação:
Passo 7
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Aplicando as regras de derivação:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: