Encontre as derivadas parciais de segunda ordem para a função h(x, y) = e^(x * y) * ln(x * y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais de segunda ordem para a função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e depois derivar novamente para chegar às derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas mostram como a função muda quando você varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que vamos chamar de . Usamos a regra do produto e a regra da cadeia aqui:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . Aplicamos novamente a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Aplicando as regras de derivação:

Passo 6

Em seguida, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Aplicando as regras de derivação:

Passo 7

Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Aplicando as regras de derivação:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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