Determine os limites das seguintes seqüências:
lim n infty 3^n(n+3)!

Passo 1

Vamos resolver o limite da sequência . Este exercício está dentro do conteúdo de análise de sequências e séries, especificamente lidando com limites de sequências. Para resolver, vamos precisar entender como as funções exponenciais e fatoriais se comportam quando cresce indefinidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas partes da fração: e . A função exponencial cresce rapidamente à medida que aumenta. Já o fatorial cresce ainda mais rapidamente, já que envolve a multiplicação de todos os números inteiros de 1 até .

Passo 3

Sabemos que, geralmente, uma função fatorial cresce mais rápido que qualquer função exponencial. Isso significa que, embora aumente rapidamente, aumenta de forma ainda mais acelerada conforme tende ao infinito.

Passo 4

Para formalizar isso, podemos usar o conceito de comparação de taxas de crescimento. Como o denominador cresce mais rápido que o numerador , a fração tende a zero à medida que se aproxima do infinito.

Resposta

lim n infty 3^n(n+3)! = 0

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