Determine os limites das seguintes seqüências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o limite da sequência
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções como
e termos como
se comportam quando
cresce bastante, ou seja, tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro do limite:
. Podemos simplificar isso um pouco usando propriedades dos logaritmos. Lembrando que
, temos:
Então, substituindo de volta na expressão original:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte dessa expressão separadamente quando
tende ao infinito.
-
Primeira parte:Conforme
aumenta, diminui e tende a 0. -
Segunda parte:Aqui, temos
no numerador e no denominador. Sabemos que, embora cresça sem limite conforme aumenta, ele cresce muito mais devagar que . Na verdade, é uma função que cresce logaritmicamente, que é bem mais lenta comparada ao crescimento linear de .
Passo 4
Com base nisso, podemos concluir que:
-
conforme . -
também, porque o no denominador “domina” o no numerador.
Então, tanto
quanto
tendem a 0 quando
cresce infinitamente.
Resposta
O limite da sequência é
.
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