Determine os limites das seguintes seqüências:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o limite da sequência . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções como e termos como se comportam quando cresce bastante, ou seja, tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro do limite: . Podemos simplificar isso um pouco usando propriedades dos logaritmos. Lembrando que , temos:
Então, substituindo de volta na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte dessa expressão separadamente quando tende ao infinito.
  1. Primeira parte:
    Conforme aumenta, diminui e tende a 0.
  2. Segunda parte:
    Aqui, temos no numerador e no denominador. Sabemos que, embora cresça sem limite conforme aumenta, ele cresce muito mais devagar que . Na verdade, é uma função que cresce logaritmicamente, que é bem mais lenta comparada ao crescimento linear de .

Passo 4

Com base nisso, podemos concluir que:
  • conforme .
  • também, porque o no denominador “domina” o no numerador.
Então, tanto quanto tendem a 0 quando cresce infinitamente.

Resposta

O limite da sequência é .

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