Determine os limites das seguintes seqüências:
lim n infty(en ln en)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o limite da sequência lim n infty(en ln en). Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções como ln(n) e termos como 1n se comportam quando n cresce bastante, ou seja, tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro do limite: en ln en. Podemos simplificar isso um pouco usando propriedades dos logaritmos. Lembrando que ln (ab) = ln a - ln b, temos:
ln en = ln e - ln n = 1 - ln n
Então, substituindo de volta na expressão original:
en ln en = en (1 - ln n) = en - e ln nn

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte dessa expressão separadamente quando n tende ao infinito.
  1. Primeira parte: en
    Conforme n aumenta, en diminui e tende a 0.
  2. Segunda parte: e ln nn
    Aqui, temos ln n no numerador e n no denominador. Sabemos que, embora ln n cresça sem limite conforme n aumenta, ele cresce muito mais devagar que n. Na verdade, ln n é uma função que cresce logaritmicamente, que é bem mais lenta comparada ao crescimento linear de n.

Passo 4

Com base nisso, podemos concluir que:
  • en 0 conforme n infty.
  • e ln nn 0 também, porque o n no denominador “domina” o ln n no numerador.
Então, tanto en quanto e ln nn tendem a 0 quando n cresce infinitamente.

Resposta

O limite da sequência é 0.

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