Determine os limites das seguintes seqüências: lim n infty ln (n)raizn

Passo 1

Vamos analisar a expressão . Aqui, estamos lidando com o estudo dos limites de sequências que envolvem funções logarítmicas e radicais.

Passo 2

Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem para infinito conforme cresce sem limites. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , o que indica que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital permite que tomemos as derivadas do numerador e do denominador separadamente e, em seguida, calculemos o limite da nova expressão resultante. Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 4

Substituímos as derivadas na expressão original do limite:
lim n infty 1n12raizn = lim n infty 2raiznn

Passo 5

Simplificamos a fração resultante:
2raiznn = 2raizn
Agora, precisamos calcular o limite de conforme tende para infinito.

Passo 6

À medida que cresce, também cresce sem limites. Portanto, tende a zero quando tende ao infinito.

Resposta

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