Determine os limites das seguintes seqüências:
Passo 1
Vamos analisar a expressão
. Aqui, estamos lidando com o estudo dos limites de sequências que envolvem funções logarítmicas e radicais.
Passo 2
Primeiro, observamos que tanto o numerador
quanto o denominador
tendem para infinito conforme
cresce sem limites. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, o que indica que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital permite que tomemos as derivadas do numerador e do denominador separadamente e, em seguida, calculemos o limite da nova expressão resultante. Vamos calcular as derivadas:
- Derivada de
: - Derivada de
:
Passo 4
Substituímos as derivadas na expressão original do limite:
Passo 5
Simplificamos a fração resultante:
Agora, precisamos calcular o limite de
conforme
tende para infinito.
Passo 6
À medida que
cresce,
também cresce sem limites. Portanto,
tende a zero quando
tende ao infinito.