Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente. sumk=1^infty (-1)^k+1 k ! 6^k

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar: . O objetivo aqui é descobrir se essa série converge absolutamente ou converge condicionalmente. Para isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Razão e o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que a gente vai analisar a série sem considerar os sinais alternados, ou seja, vamos analisar .

Passo 3

Para testar a convergência dessa nova série, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge com base no limite da razão entre termos consecutivos.
Calculamos:
limk to infty ak+1ak = limk to infty (k+1)!6^k+1 div k!6^k = limk to infty (k+1) cdot k!6^k+1 cdot 6^kk! = limk to infty k+16 = infty
Como o limite é infinito, que é maior que 1, o Teste da Razão nos diz que a série diverge. Isso quer dizer que a série original não converge absolutamente.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a série converge condicionalmente, ou seja, mesmo sem convergência absoluta, a série pode convergir por causa dos sinais alternados. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada.
Segundo esse teste, a série limk to infty k!6^k = infty converge se:
  1. é uma sequência decrescente.
  2. .
No nosso caso, .
Primeiro, vamos ver o limite:
Esse limite não é zero, mas sim infinito. Como uma das condições do Teste da Série Alternada não é satisfeita, a série não converge condicionalmente.

Resposta

(a) A série não converge absolutamente.
(b) A série não converge condicionalmente.

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