Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
. O objetivo aqui é descobrir se essa série converge absolutamente ou converge condicionalmente. Para isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Razão e o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que a gente vai analisar a série sem considerar os sinais alternados, ou seja, vamos analisar
.
Passo 3
Para testar a convergência dessa nova série, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge com base no limite da razão entre termos consecutivos.
Calculamos:
Como o limite é infinito, que é maior que 1, o Teste da Razão nos diz que a série
diverge. Isso quer dizer que a série original não converge absolutamente.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a série converge condicionalmente, ou seja, mesmo sem convergência absoluta, a série pode convergir por causa dos sinais alternados. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada.
Segundo esse teste, a série
converge se:
-
é uma sequência decrescente. -
.
No nosso caso,
.
Primeiro, vamos ver o limite:
Esse limite não é zero, mas sim infinito. Como uma das condições do Teste da Série Alternada não é satisfeita, a série não converge condicionalmente.
Resposta
(a) A série não converge absolutamente.
(b) A série não converge condicionalmente.