Determine os limites das seguintes seqüências:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite da sequência quando tende ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a raiz -ésima em forma de potência. Sabemos que . Então:

Passo 3

Agora, vamos separar os fatores dentro da potência usando a propriedade . Assim, temos:

Passo 4

Vamos analisar cada parte separadamente:
  1. Para :
    Quando tende ao infinito, tende a 0. Sabemos que qualquer número constante elevado a 0 é 1. Portanto:
  2. Para :
    Para encontrar este limite, podemos usar o logaritmo natural. Seja . Então:
    Conforme tende ao infinito, cresce, mas muito mais devagar comparado a . Assim:
    Portanto:
    Ou seja:

Passo 5

Agora, juntando os resultados das duas partes:

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é 1.

Exercícios relacionados

Use a definição de limite para provar que nos casos abaixo:
Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
Determine os limites das seguintes seqüências:
Determine os limites das seguintes seqüências: