Determine os limites das seguintes seqüências:
lim n infty raiz[n]4 n

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite da sequência quando tende ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a raiz raiz[n]4n = (4n)^1n -ésima em forma de potência. Sabemos que . Então:

Passo 3

Agora, vamos separar os fatores dentro da potência usando a propriedade (4n)^1n = 4^1n cdot n^1n . Assim, temos:

Passo 4

Vamos analisar cada parte separadamente:
  1. Para limn to infty 4^1n = 1 :
    Quando ln L = ln nn tende ao infinito, limn to infty ln nn = 0 tende a 0. Sabemos que qualquer número constante elevado a 0 é 1. Portanto:
    limn to infty ln L = 0 implies L = e^0 = 1
  2. Para limn to infty n^1n = 1 :
    Para encontrar este limite, podemos usar o logaritmo natural. Seja . Então:
    Conforme tende ao infinito, cresce, mas muito mais devagar comparado a . Assim:
    Portanto:
    Ou seja:

Passo 5

Agora, juntando os resultados das duas partes:
limn to infty (4n)^1n = limn to infty 4^1n cdot limn to infty n^1n = 1 cdot 1 = 1

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é 1.

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