Determine os limites das seguintes seqüências:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite da sequência
quando
tende ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a raiz
-ésima em forma de potência. Sabemos que
. Então:
Passo 3
Agora, vamos separar os fatores dentro da potência usando a propriedade
. Assim, temos:
Passo 4
Vamos analisar cada parte separadamente:
-
Para
: Quandotende ao infinito, tende a 0. Sabemos que qualquer número constante elevado a 0 é 1. Portanto: -
Para
: Para encontrar este limite, podemos usar o logaritmo natural. Seja. Então: Conformetende ao infinito, cresce, mas muito mais devagar comparado a . Assim: Portanto:Ou seja:
Passo 5
Agora, juntando os resultados das duas partes:
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é 1.
Exercícios relacionados
Use a definição de limite para provar que
nos casos abaixo:
Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
Determine os limites das seguintes seqüências:
Determine os limites das seguintes seqüências: