Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o raio de convergência da série de potências:
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências na Análise Matemática, mais especificamente sobre onde essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da nossa série. Ela pode ser escrita como:
Onde e (pois temos ). Mas para simplificar, vamos considerar , então a série fica:
Agora, queremos encontrar o raio de convergência dessa série em termos de .

Passo 3

Usaremos o Teste da Razão, que diz que o raio de convergência é dado por:
No nosso caso, , então:
Calculando o limite:
Então:
Isso significa que a série converge quando .

Passo 4

Agora, lembrando que , a condição de convergência fica:
Para encontrar os valores de que satisfazem essa desigualdade, resolvemos:
Subtraindo 1 de todas as partes:
Dividindo por 2:

Resposta

O raio de convergência da série é 1, e o domínio de convergência para é:

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Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
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Use a definição de limite para provar que nos casos abaixo:
Determine os limites das seguintes seqüências: