Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o raio de convergência da série de potências:
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências na Análise Matemática, mais especificamente sobre onde essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar o raio de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da nossa série. Ela pode ser escrita como:
Onde e (pois temos ). Mas para simplificar, vamos considerar , então a série fica:
Agora, queremos encontrar o raio de convergência dessa série em termos de .
Passo 3
Usaremos o Teste da Razão, que diz que o raio de convergência é dado por:
No nosso caso, limk to infty ( kk+1 )^2 = limk to infty ( 11 + 1k )^2 = 1 , então:
1R = 1 Rightarrow R = 1
Calculando o limite:
Então:
Isso significa que a série converge quando .
Passo 4
Agora, lembrando que |2x + 1| < 1 , a condição de convergência fica:
-1 < 2x + 1 < 1
Para encontrar os valores de -2 < 2x < 0 que satisfazem essa desigualdade, resolvemos:
-1 < x < 0
Subtraindo 1 de todas as partes:
Dividindo por 2:
Resposta
O raio de convergência da série é 1, e o domínio de convergência para -1 < x < 0 é: