Use a definição de limite para provar que lim n infty an=L nos casos abaixo:
an=12 n+1 ; L=0

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que trata do limite de uma sequência. A questão pede para provar, usando a definição de limite, que quando tende ao infinito, a sequência se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender a definição formal de limite de uma sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que forall varepsilon > 0, exists N in N tal que n > N Rightarrow |an - L| < varepsilon . Isso quer dizer que para qualquer número pequeno que escolhermos, chamado de (é como se fosse uma margem de erro), podemos achar um número tal que, para todos os maiores que , a diferença entre e seja menor que . Em outras palavras:

Passo 3

Agora, aplicando isso ao nosso caso específico, queremos provar que:
limn infty 12n + 1 = 0
Ou seja, queremos mostrar que para qualquer | 12n + 1 - 0 | < varepsilon , existe um 12n + 1 < varepsilon tal que, se , então:
Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:

Passo 4

Nosso objetivo agora é encontrar um 12n + 1 < varepsilon em termos de 2n + 1 > 1varepsilon que satisfaça essa desigualdade. Vamos resolver a inequação para 2n > 1varepsilon - 1 :
n > 12varepsilon - 12
Primeiro, invertendo os dois lados da inequação (lembrando que ao inverter, a desigualdade também inverte se ambos os lados são positivos, o que é o caso aqui):
Agora, isolando :

Passo 5

Para garantir que essa inequação seja satisfeita, podemos escolher:
N = 12varepsilon
Assim, para todo n > 12varepsilon Rightarrow 12n + 1 < varepsilon , teremos:

Passo 6

Portanto, mostramos que para qualquer limn infty 12n + 1 = 0 , existe um tal que, se , então . Isso confirma, de acordo com a definição de limite, que:

Resposta

Através da definição de limite, demonstramos que .

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