Use a definição de limite para provar que nos casos abaixo:

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que trata do limite de uma sequência. A questão pede para provar, usando a definição de limite, que quando tende ao infinito, a sequência se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender a definição formal de limite de uma sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que . Isso quer dizer que para qualquer número pequeno que escolhermos, chamado de (é como se fosse uma margem de erro), podemos achar um número tal que, para todos os maiores que , a diferença entre e seja menor que . Em outras palavras:

Passo 3

Agora, aplicando isso ao nosso caso específico, queremos provar que:
Ou seja, queremos mostrar que para qualquer , existe um tal que, se , então:
Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:

Passo 4

Nosso objetivo agora é encontrar um em termos de que satisfaça essa desigualdade. Vamos resolver a inequação para :
Primeiro, invertendo os dois lados da inequação (lembrando que ao inverter, a desigualdade também inverte se ambos os lados são positivos, o que é o caso aqui):
Agora, isolando :

Passo 5

Para garantir que essa inequação seja satisfeita, podemos escolher:
Assim, para todo , teremos:

Passo 6

Portanto, mostramos que para qualquer , existe um tal que, se , então . Isso confirma, de acordo com a definição de limite, que:

Resposta

Através da definição de limite, demonstramos que .

Exercícios relacionados

Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
Determine os limites das seguintes seqüências:
Determine os limites das seguintes seqüências: