Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de L1) lim t 1 t-1ln (t)-sen(pi t)

Passo 1

Vamos resolver o limite utilizando a Regra de L’Hôpital. Essa regra é útil quando, ao substituir o valor que está se aproximando, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 ou ao infinito. Para aplicar a regra, precisaremos calcular as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 1.
  • Numerador: quando é .
  • Denominador: .
Como obtemos a forma indeterminada , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
  • Derivada do numerador: A derivada de ddt(t - 1) = 1 em relação a ddt(ln(t)) = 1t é 1.
    ddt(-sin(pi t)) = -pi cos(pi t)
  • Derivada do denominador: Precisamos derivar 1t - pi cos(pi t) .
    Então, a derivada completa do denominador é:

Passo 4

Com as derivadas calculadas, reescrevemos o limite:
limt 1 11t - pi cos(pi t)
Agora, substituímos 111 - pi cos(pi cdot 1) = 11 - pi cdot (-1) = 11 + pi :

Resposta

O limite é .

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