Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de L1)
Passo 1
Vamos resolver o limite
utilizando a Regra de L’Hôpital. Essa regra é útil quando, ao substituir o valor que
está se aproximando, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 ou ao infinito. Para aplicar a regra, precisaremos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de 1.
- Numerador:
quando é . - Denominador:
.
Como obtemos a forma indeterminada
, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
-
Derivada do numerador: A derivada de
em relação a é 1. -
Derivada do denominador: Precisamos derivar
. Então, a derivada completa do denominador é:
Passo 4
Com as derivadas calculadas, reescrevemos o limite:
Agora, substituímos
:
Resposta
O limite é
.
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Existe um campo vetorial
tal que
? Explique.