Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lw) lim x 0^+(1+6 x^2)^1x^2

Passo 1

Ok, vamos lá! O problema pede para calcular o limite usando a regra de L’Hôpital. Vamos trabalhar com o conteúdo de limites e usar logaritmos para facilitar a resolução. Precisaremos aplicar a regra de L’Hôpital depois de transformar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o limite de L = lim x 0^+ (1 + 6x^2)^1x^2 :
ln L = lim x 0^+ ln(1 + 6x^2)x^2
Para lidar com o expoente que envolve , vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados:
Agora, temos uma forma que vamos poder aplicar a regra de L’Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando .

Passo 3

Vamos identificar a forma 0/0 para aplicar a regra de L’Hôpital. Calculando os limites dos numerador e denominador separadamente:
  • Quando , , então o numerador tende a 0.
  • O denominador também tende a 0.
Como temos a forma indeterminada 0/0, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: ln L = lim x 0^+ 12x1 + 6x^22x
  • Derivada do denominador:
Então, o limite fica:

Passo 5

Simplificando a expressão:
ln L = lim x 0^+ 12x(1 + 6x^2) cdot 2x = lim x 0^+ 122(1 + 6x^2) = lim x 0^+ 61 + 6x^2
Agora, ao substituirmos ln L = 61 + 0 = 6 :

Resposta

Finalmente, desfazendo o logaritmo:
L = e^6
Então, o limite é .

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