Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lw)
Passo 1
Ok, vamos lá! O problema pede para calcular o limite
usando a regra de L’Hôpital. Vamos trabalhar com o conteúdo de limites e usar logaritmos para facilitar a resolução. Precisaremos aplicar a regra de L’Hôpital depois de transformar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o limite de
:
Para lidar com o expoente que envolve
, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados:
Agora, temos uma forma que vamos poder aplicar a regra de L’Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando
.
Passo 3
Vamos identificar a forma 0/0 para aplicar a regra de L’Hôpital. Calculando os limites dos numerador e denominador separadamente:
- Quando
, , então o numerador tende a 0. - O denominador
também tende a 0.
Como temos a forma indeterminada 0/0, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Então, o limite fica:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, ao substituirmos
:
Resposta
Finalmente, desfazendo o logaritmo:
Então, o limite é
.
Exercícios relacionados
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lt)
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lk)
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lj)
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de L1)