Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lw)

Passo 1

Ok, vamos lá! O problema pede para calcular o limite usando a regra de L’Hôpital. Vamos trabalhar com o conteúdo de limites e usar logaritmos para facilitar a resolução. Precisaremos aplicar a regra de L’Hôpital depois de transformar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o limite de :
Para lidar com o expoente que envolve , vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados:
Agora, temos uma forma que vamos poder aplicar a regra de L’Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando .

Passo 3

Vamos identificar a forma 0/0 para aplicar a regra de L’Hôpital. Calculando os limites dos numerador e denominador separadamente:
  • Quando , , então o numerador tende a 0.
  • O denominador também tende a 0.
Como temos a forma indeterminada 0/0, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
Então, o limite fica:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Agora, ao substituirmos :

Resposta

Finalmente, desfazendo o logaritmo:
Então, o limite é .

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