Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lo)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites e utiliza a regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar conhecer como aplicar essa regra e entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:

Passo 3

Agora, analisando o limite quando se aproxima de 0, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, ou seja, temos uma forma indeterminada do tipo . Isso é um indicativo de que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

A regra de L’Hôpital nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Vamos derivar o numerador :
E o denominador . Para derivar, usamos a regra do produto:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:

Passo 6

Vamos calcular esse limite substituindo :
No numerador:
No denominador:
De novo, temos uma forma , então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.

Passo 7

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Derivando o numerador :
Derivando o denominador :
Usamos a regra do produto para cada termo:
Simplificando:

Passo 8

Agora, aplicamos novamente a regra de L’Hôpital:

Passo 9

Substituindo :
No numerador:
No denominador:

Resposta

Portanto, o limite é .

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