Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lo)
Passo 1
Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites e utiliza a regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar conhecer como aplicar essa regra e entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Passo 3
Agora, analisando o limite quando
se aproxima de 0, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, ou seja, temos uma forma indeterminada do tipo
. Isso é um indicativo de que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 4
A regra de L’Hôpital nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Vamos derivar o numerador :
E o denominador . Para derivar, usamos a regra do produto:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
Passo 6
Vamos calcular esse limite substituindo
:
No numerador:
No denominador:
De novo, temos uma forma
, então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
Passo 7
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador :
Usamos a regra do produto para cada termo:
Simplificando:
Passo 8
Agora, aplicamos novamente a regra de L’Hôpital:
Passo 9
Substituindo
:
No numerador:
No denominador:
Resposta
Portanto, o limite é
.
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tal que
? Explique.
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