Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lo) lim x 0(1x^2+x-1sen(x))

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites e utiliza a regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar conhecer como aplicar essa regra e entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:

Passo 3

Agora, analisando o limite quando se aproxima de 0, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, ou seja, temos uma forma indeterminada do tipo . Isso é um indicativo de que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

A regra de L’Hôpital nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Vamos derivar o numerador :
N'(x) = cos(x) - 2x - 1
E o denominador . Para derivar, usamos a regra do produto:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:

Passo 6

Vamos calcular esse limite substituindo cos(0) - 2(0) - 1 = 1 - 0 - 1 = 0 :
No numerador:
(2(0) + 1)sen(0) + (0^2 + 0)cos(0) = (0 + 1)(0) + (0 + 0)(1) = 0 + 0 = 0
No denominador:
De novo, temos uma forma , então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.

Passo 7

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Derivando o numerador N''(x) = -sen(x) - 2 :
Derivando o denominador :
Usamos a regra do produto para cada termo:
Simplificando:

Passo 8

Agora, aplicamos novamente a regra de L’Hôpital:

Passo 9

Substituindo -sen(0) - 2 = -0 - 2 = -2 :
No numerador:
No denominador:

Resposta

Portanto, o limite é lim x 0(1x^2+x-1sen(x)) = -1 .

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