Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lj) lim x 0(sen(x)-xe^x+e^-x-2)

Passo 1

Vamos resolver o limite usando a regra de L’Hôpital. Essa regra é útil quando nos deparamos com limites que resultam em formas indeterminadas como ou . Para aplicá-la, precisamos conhecer derivadas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o tipo de indeterminação. Calculando o numerador e o denominador quando se aproxima de 0:
  • Numerador:
  • Denominador:
Como temos , podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se ou , então , desde que o limite do lado direito exista.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador :
    f'(x) = cos(x) - 1
  • Derivada do denominador g'(x) = e^x - e^-x :

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, o limite original se torna:
lim x 0(cos(x) - 1e^x - e^-x)
Agora, vamos calcular esse novo limite.

Passo 5

Substituindo :
  • Numerador:
  • Denominador:
Novamente, temos uma forma indeterminada , então aplicamos a regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 6

Calculamos as derivadas novamente:
  • Derivada do numerador f''(x) = -sen(x) :
  • Derivada do denominador g''(x) = e^x + e^-x :

Passo 7

Aplicando a regra de L’Hôpital novamente, o limite agora é:
Vamos calcular esse limite substituindo lim x 0(-sen(x)e^x + e^-x) :
  • Numerador:
  • Denominador:

Resposta

Portanto, o limite é:

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