Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lj)
Passo 1
Vamos resolver o limite usando a regra de L’Hôpital. Essa regra é útil quando nos deparamos com limites que resultam em formas indeterminadas como
ou
. Para aplicá-la, precisamos conhecer derivadas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o tipo de indeterminação. Calculando o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0:
- Numerador:
- Denominador:
Como temos
, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se
ou
, então
, desde que o limite do lado direito exista.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador:
-
Derivada do numerador :
-
Derivada do denominador
:
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital, o limite original se torna:
Agora, vamos calcular esse novo limite.
Passo 5
Substituindo
:
- Numerador:
- Denominador:
Novamente, temos uma forma indeterminada
, então aplicamos a regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 6
Calculamos as derivadas novamente:
-
Derivada do numerador
: -
Derivada do denominador
:
Passo 7
Aplicando a regra de L’Hôpital novamente, o limite agora é:
Vamos calcular esse limite substituindo
:
- Numerador:
- Denominador:
Resposta
Portanto, o limite é:
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