Existe um campo vetorial
tal que
? Explique.
Passo 1
Resumo do problema: A gente quer descobrir se existe um campo vetorial
cujo rotacional seja igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre o rotacional e o divergente de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial
, representado por
, sempre resulta em um campo onde o divergente é zero. Isso significa que se temos um campo
tal que
, então necessariamente
.
Passo 3
Então, para que exista um campo
com o rotacional igual a
, é necessário que o divergente desse campo seja zero. Vamos calcular o divergente desse vetor para verificar se essa condição é satisfeita.
Passo 4
O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Aplicando isso ao nosso campo:
Passo 5
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 6
Somando as derivadas parciais:
Passo 7
O divergente do campo dado é igual a 1, que não é zero. Como a condição necessária para a existência de um campo
com o rotacional igual a nosso campo inicial é que o divergente desse campo seja zero, concluímos que tal campo
não existe.
Resposta
Não, não existe um campo vetorial
tal que o rotacional de
seja igual a
.
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Mostre que
.