Existe um campo vetorial tal que ? Explique.

Passo 1

Resumo do problema: A gente quer descobrir se existe um campo vetorial cujo rotacional seja igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre o rotacional e o divergente de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial , representado por , sempre resulta em um campo onde o divergente é zero. Isso significa que se temos um campo tal que , então necessariamente .

Passo 3

Então, para que exista um campo com o rotacional igual a , é necessário que o divergente desse campo seja zero. Vamos calcular o divergente desse vetor para verificar se essa condição é satisfeita.

Passo 4

O divergente de um campo vetorial é dado por:
Aplicando isso ao nosso campo:

Passo 5

Vamos calcular cada derivada parcial:

Passo 6

Somando as derivadas parciais:

Passo 7

O divergente do campo dado é igual a 1, que não é zero. Como a condição necessária para a existência de um campo com o rotacional igual a nosso campo inicial é que o divergente desse campo seja zero, concluímos que tal campo não existe.

Resposta

Não, não existe um campo vetorial tal que o rotacional de seja igual a .

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