Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lb) lim x a x^2-(a-1) x-ax^3-a^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que você trouxe usando a Regra de L’Hôpital. O enunciado pede para calcular:
lim x a x^2-(a-1) x-ax^3-a^3
A Regra de L’Hôpital é útil quando nos deparamos com limites que resultam em formas indeterminadas como 00. Vamos ver se é o caso aqui e, se for, aplicamos a regra para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x por a na expressão para verificar se temos uma forma indeterminada:
a^2 - (a - 1)a - aa^3 - a^3 = a^2 - (a^2 - a) - a0 = a^2 - a^2 + a - a0 = 00
Como obtemos 00, podemos usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos limx to c f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite novamente:
limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x)
Vamos aplicar isso ao nosso limite.

Passo 4

Primeiro, encontramos a derivada do numerador f(x) = x^2 - (a - 1)x - a:
f'(x) = 2x - (a - 1)
Agora, a derivada do denominador g(x) = x^3 - a^3:
g'(x) = 3x^2

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
lim x a f'(x)g'(x) = lim x a 2x - (a - 1)3x^2
Agora, vamos substituir x por a nessa nova expressão:
2a - (a - 1)3a^2 = 2a - a + 13a^2 = a + 13a^2

Resposta

O limite é:
lim x a x^2-(a-1) x-ax^3-a^3 = a + 13a^2

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