Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lc)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente usando a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar conhecer as derivadas das funções envolvidas e entender quando aplicar essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se podemos usar a Regra de L’Hôpital. Para isso, substituímos
por
no numerador e no denominador:
Numerador:
.
Denominador: .
Como temos a forma
, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se
ou
, então podemos calcular o limite como
, desde que esse novo limite exista.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador :
Usamos a regra do produto:
Usamos a regra do produto:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Vamos simplificar esse limite.
Passo 6
Substituímos
nas novas expressões para ver se ainda temos uma forma indeterminada:
Numerador: .
Denominador: .
Ainda temos
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.
Passo 7
Calculamos as derivadas novamente.
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :
Passo 8
Aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital:
Agora, substituímos
para verificar:
Numerador:
.
Denominador: .
Resposta
Portanto, o limite é
.
Exercícios relacionados
Mostre que
.
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lb)
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Le)
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Li)