Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lc) lim x 0 cos (3 x)-cos (x)x cdot sen(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente usando a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar conhecer as derivadas das funções envolvidas e entender quando aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos usar a Regra de L’Hôpital. Para isso, substituímos x por 0 no numerador e no denominador:
Numerador: cos(3 cdot 0) - cos(0) = cos(0) - cos(0) = 1 - 1 = 0.
Denominador: .
Como temos a forma 0 cdot sen(2 cdot 0) = 0 cdot 0 = 0, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to c f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então podemos calcular o limite como limx to c f'(x)g'(x), desde que esse novo limite exista.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador cos(3x) - cos(x):
Derivada do denominador :
Usamos a regra do produto:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Vamos simplificar esse limite.

Passo 6

Substituímos x = 0 nas novas expressões para ver se ainda temos uma forma indeterminada:
Numerador: .
Denominador: .
Ainda temos -3sen(0) + sen(0) = 0 + 0 = 0, então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.

Passo 7

Calculamos as derivadas novamente.
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :

Passo 8

Aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital:
Agora, substituímos limx to 0 -9cos(3x) + cos(x)4cos(2x) - 4xsen(2x) para verificar:
Numerador: x = 0.
Denominador: .

Resposta

Portanto, o limite é -84 = -2.

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