Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lc)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente usando a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar conhecer as derivadas das funções envolvidas e entender quando aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos usar a Regra de L’Hôpital. Para isso, substituímos por no numerador e no denominador:
Numerador: .
Denominador: .
Como temos a forma , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se ou , então podemos calcular o limite como , desde que esse novo limite exista.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :
Usamos a regra do produto:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Vamos simplificar esse limite.

Passo 6

Substituímos nas novas expressões para ver se ainda temos uma forma indeterminada:
Numerador: .
Denominador: .
Ainda temos , então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.

Passo 7

Calculamos as derivadas novamente.
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :

Passo 8

Aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital:
Agora, substituímos para verificar:
Numerador: .
Denominador: .

Resposta

Portanto, o limite é .

Exercícios relacionados

Mostre que .
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lb)
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Le)
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Li)