Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa mostrar que o rotacional da soma de dois vetores
e
é igual à soma dos rotacionais de cada um deles. Ou seja, precisamos provar que:
Para isso, vamos usar a definição do rotacional (também conhecido como curl) e as propriedades das operações vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um vetor. O rotacional de um vetor
é dado por:
Isso nos ajuda a calcular o rotacional de qualquer vetor tridimensional.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional da soma
. Seja
e
. Então,
.
Aplicando a definição do rotacional:
Passo 4
Vamos simplificar cada componente da expressão acima usando a propriedade da derivada da soma, que diz que a derivada da soma é igual à soma das derivadas. Então:
Passo 5
Agora, vamos separar os termos relacionados a
e
:
Passo 6
Perceba que cada grupo de parênteses corresponde ao rotacional de
e ao rotacional de
, respectivamente. Então podemos escrever:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lb)
Mostre que
.
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lc)
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Le)