Mostre que nabla x (F + G) = nabla x F + nabla x G.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa mostrar que o rotacional da soma de dois vetores F e G é igual à soma dos rotacionais de cada um deles. Ou seja, precisamos provar que:
Para isso, vamos usar a definição do rotacional (também conhecido como curl) e as propriedades das operações vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um vetor. O rotacional de um vetor é dado por:
Isso nos ajuda a calcular o rotacional de qualquer vetor tridimensional.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional da soma . Seja e . Então, .
Aplicando a definição do rotacional:

Passo 4

Vamos simplificar cada componente da expressão acima usando a propriedade da derivada da soma, que diz que a derivada da soma é igual à soma das derivadas. Então:

Passo 5

Agora, vamos separar os termos relacionados a F e G:

Passo 6

Perceba que cada grupo de parênteses corresponde ao rotacional de F e ao rotacional de G, respectivamente. Então podemos escrever:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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