Seja f: I ⊂ R → R una funcāo duas vezes derivável. Mostre que a curvatura kappa da curva dada pelo gráfrico de f é
kappa(t) = |f''(t)| / [1 + (f'(t))^2]^(3/2), t in I

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que é duas vezes derivável, ou seja, tem derivada primeira e segunda. O objetivo é mostrar que a curvatura do gráfico dessa função é dada por
Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da curvatura para uma curva no plano e como aplicá-la ao gráfico de uma função .

Passo 2

Primeiro, lembramos que a curvatura de uma curva parametrizada por é dada pela fórmula:
Essa fórmula nos dá uma medida de quão “curva” está a trajetória naquele ponto.

Passo 3

No caso do gráfico da função , podemos parametrizar a curva como . Ou seja, e .
Vamos calcular as derivadas necessárias:

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da curvatura:
Simplificando, temos:

Resposta

A curvatura do gráfico da função é dada por

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