Seja
una funcāo duas vezes derivável. Mostre que a curvatura
da curva dada pelo gráfrico de
é
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
que é duas vezes derivável, ou seja, tem derivada primeira e segunda. O objetivo é mostrar que a curvatura
do gráfico dessa função é dada por
Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da curvatura para uma curva no plano e como aplicá-la ao gráfico de uma função
.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a curvatura
de uma curva parametrizada por
é dada pela fórmula:
Essa fórmula nos dá uma medida de quão “curva” está a trajetória naquele ponto.
Passo 3
No caso do gráfico da função
, podemos parametrizar a curva como
. Ou seja,
e
.
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da curvatura:
Simplificando, temos:
Resposta
A curvatura
do gráfico da função
é dada por
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Mostre que a série geométrica
ê convergente se
e sua soma é
Se
, a série geométrica é divergente.
Determine se a sequencia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Mostre que
.
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lb)