Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a divergência da soma de dois vetores,
, é igual à soma das divergências de cada vetor individualmente, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar as propriedades da operação de divergência, que faz parte do cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Basicamente, ela mede a taxa de “fluxo” que sai de um ponto no campo vetorial.
Passo 3
Agora, consideremos a soma dos dois vetores
. Vamos calcular a divergência dessa soma usando a definição que acabamos de ver:
Passo 4
Vamos distribuir as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, vamos reescrever isso agrupando as derivadas de
e
separadamente:
Passo 6
Observamos que a primeira parte dentro dos parênteses é exatamente a divergência de
e a segunda parte é a divergência de
:
Resposta
Assim, demonstramos que
.