Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a divergência da soma de dois vetores, , é igual à soma das divergências de cada vetor individualmente, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar as propriedades da operação de divergência, que faz parte do cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial é dada por:
Basicamente, ela mede a taxa de “fluxo” que sai de um ponto no campo vetorial.

Passo 3

Agora, consideremos a soma dos dois vetores . Vamos calcular a divergência dessa soma usando a definição que acabamos de ver:

Passo 4

Vamos distribuir as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, vamos reescrever isso agrupando as derivadas de e separadamente:

Passo 6

Observamos que a primeira parte dentro dos parênteses é exatamente a divergência de e a segunda parte é a divergência de :

Resposta

Assim, demonstramos que .

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