Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Li) lim x infty e^x-13 x^2+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x infty e^x-13 x^2+4. A gente vai usar a Regra de L’Hospital, que é uma técnica para resolver limites que dão uma forma indeterminada, tipo inftyinfty ou 00. Vamos precisar derivar o numerador e o denominador até conseguirmos resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento de cada parte da fração quando x vai pra infinito. No numerador, e^x cresce muito rapidinho, praticamente indo para infinito. Já no denominador, 3x^2+4 também cresce para infinito, mas de um jeito mais lento comparado à exponencial. Então, a gente tem uma forma do tipo inftyinfty, que é perfeita pra usar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital. Isso significa que vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
  • Derivada do numerador: A derivada de e^x-1 é e^x.
  • Derivada do denominador: A derivada de 3x^2+4 é 6x.
Então, o limite fica:
lim x infty e^x6x

Passo 4

Olha só, ainda temos uma forma inftyinfty. Então, a gente pode aplicar a Regra de L’Hospital de novo.
  • Derivada do numerador: A derivada de e^x é e^x.
  • Derivada do denominador: A derivada de 6x é 6.
Agora, o limite mudou para:
lim x infty e^x6

Passo 5

Esse limite é mais fácil de calcular. A exponencial e^x cresce pra infinito, então e^x6 também tende a infinito.

Resposta

O limite é +infty.

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