Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Li)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A gente vai usar a Regra de L’Hospital, que é uma técnica para resolver limites que dão uma forma indeterminada, tipo
ou
. Vamos precisar derivar o numerador e o denominador até conseguirmos resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o comportamento de cada parte da fração quando
vai pra infinito. No numerador,
cresce muito rapidinho, praticamente indo para infinito. Já no denominador,
também cresce para infinito, mas de um jeito mais lento comparado à exponencial. Então, a gente tem uma forma do tipo
, que é perfeita pra usar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital. Isso significa que vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
- Derivada do numerador: A derivada de
é . - Derivada do denominador: A derivada de
é .
Então, o limite fica:
Passo 4
Olha só, ainda temos uma forma
. Então, a gente pode aplicar a Regra de L’Hospital de novo.
- Derivada do numerador: A derivada de
é . - Derivada do denominador: A derivada de
é .
Agora, o limite mudou para:
Passo 5
Esse limite é mais fácil de calcular. A exponencial
cresce pra infinito, então
também tende a infinito.
Resposta
O limite é
.