Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Le)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ). Vamos usar a regra de L’Hôpital para isso. Essa regra é útil quando temos formas indeterminadas como ou em limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0 pela esquerda.
  • Numerador:
  • Denominador:
Vamos ver o que acontece com quando :
Quando , tende a 6, e tende a 0, então tende a 0. Portanto, o numerador tende a , e o denominador também tende a 0. Temos uma forma indeterminada , então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
Vamos derivar o numerador e o denominador.

Passo 4

Derivando o numerador:
Derivando o denominador:

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Podemos fatorar o numerador:
E o denominador já está escrito:
Como (aproximação pela esquerda), é negativo. Portanto, . Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do limite:
Aqui, podemos cancelar o no numerador e denominador.

Passo 8

Agora, substituímos na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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