Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Le)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
). Vamos usar a regra de L’Hôpital para isso. Essa regra é útil quando temos formas indeterminadas como
ou
em limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0 pela esquerda.
- Numerador:
- Denominador:
Vamos ver o que acontece com
quando
:
Quando
,
tende a 6, e
tende a 0, então
tende a 0. Portanto, o numerador tende a
, e o denominador também tende a 0. Temos uma forma indeterminada
, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que se
resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
Vamos derivar o numerador e o denominador.
Passo 4
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 6
Podemos fatorar o numerador:
E o denominador já está escrito:
Como
(aproximação pela esquerda),
é negativo. Portanto,
. Então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do limite:
Aqui, podemos cancelar o
no numerador e denominador.
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.
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.
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