Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Le) lim x 0^- raizx^3+6 x^2x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ). Vamos usar a regra de L’Hôpital para isso. Essa regra é útil quando temos formas indeterminadas como ou em limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando x^3 + 6x^2 = x^2(x + 6) se aproxima de 0 pela esquerda.
  • Numerador:
  • Denominador:
Vamos ver o que acontece com quando :
Quando , tende a 6, e tende a 0, então tende a 0. Portanto, o numerador tende a , e o denominador também tende a 0. Temos uma forma indeterminada , então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
Vamos derivar o numerador e o denominador.

Passo 4

Derivando o numerador:
f(x) = raizx^3 + 6x^2 = (x^3 + 6x^2)^12
f'(x) = 12(x^3 + 6x^2)^-12 cdot (3x^2 + 12x) = 3x^2 + 12x2raizx^3 + 6x^2
Derivando o denominador:
g(x) = x
g'(x) = 1

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital:
limx 0^- raizx^3 + 6x^2x = limx 0^- f'(x)g'(x) = limx 0^- 3x^2 + 12x2raizx^3 + 6x^2
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Podemos fatorar o numerador:
3x^2 + 12x = 3x(x + 4)
E o denominador já está escrito:
2raizx^3 + 6x^2 = 2raizx^2(x + 6) = 2|x|raizx + 6
Como 2|x|raizx + 6 = 2(-x)raizx + 6 = -2xraizx + 6 (aproximação pela esquerda), é negativo. Portanto, . Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do limite:
limx 0^- 3x(x + 4)-2xraizx + 6 = limx 0^- 3(x + 4)-2raizx + 6
Aqui, podemos cancelar o no numerador e denominador.

Passo 8

Agora, substituímos 3(0 + 4)-2raiz0 + 6 = 3 cdot 4-2raiz6 = 12-2raiz6 = -6raiz6 = -raiz6 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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