Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lk) lim x 0 e^-x-e^4 xsen(2 x)-sen(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A gente vai usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada tipo ou . Primeiro, vamos conferir se a gente tem essa forma aqui.

Passo 2

Vamos substituir no numerador e no denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
    Então, temos uma forma , o que nos permite usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se ou , então , desde que esse limite exista. Vamos então derivar o numerador e o denominador.

Passo 4

Derivando o numerador :
  • Derivada de é
  • Derivada de é
    Então,
Derivando o denominador :
  • Derivada de é
  • Derivada de é
    Então,

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Vamos calcular esse novo limite substituindo lim x 0 e^-x-e^4 xsen(2 x)-sen(3 x) = lim x 0 -e^-x - 4e^4x2cos(2x) - 3cos(3x) :
  • Numerador:
  • Denominador:

Resposta

Então, o limite é .

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