Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lt) lim x 0[cos (pi2-x)]^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite de [cos (pi2-x)]^x quando x se aproxima de 0. A matéria aqui envolve funções trigonométricas e limites, e vamos precisar usar propriedades de logaritmos e entender como funções exponenciais se comportam perto de pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que cos(pi2 - x) é igual a sin x. Então, substituindo isso na expressão original, temos:
limx to 0 [cos(pi2 - x)]^x = limx to 0 (sin x)^x

Passo 3

Agora, vamos focar em (sin x)^x. Quando x se aproxima de 0, sin x também se aproxima de 0. Então, estamos lidando com uma forma do tipo 0^0, que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos usar logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos chamar o limite de L:
L = limx to 0 (sin x)^x
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
ln L = limx to 0 x cdot ln(sin x)

Passo 5

Agora, temos que resolver limx to 0 x cdot ln(sin x). Sabemos que, para x próximo de 0, sin x approx x. Então, podemos aproximar:
ln(sin x) approx ln x
Então, a expressão fica:
limx to 0 x cdot ln x

Passo 6

Agora, precisamos encontrar limx to 0 x cdot ln x. Vamos reescrever isso como:
limx to 0 ln x1/x
Essa expressão está na forma -inftyinfty, uma indeterminação. Aí é onde aplicamos a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 7

Derivando o numerador e o denominador:
  • Derivada de ln x em relação a x é 1x.
  • Derivada de 1/x em relação a x é -1/x^2.
Então, aplicando a Regra de L’Hôpital:
limx to 0 1x-1x^2 = limx to 0 -x = 0

Passo 8

Então, encontramos que ln L = 0. Para achar L, tiramos o exponencial dos dois lados:
L = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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