Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lt)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0. A matéria aqui envolve funções trigonométricas e limites, e vamos precisar usar propriedades de logaritmos e entender como funções exponenciais se comportam perto de pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que
é igual a
. Então, substituindo isso na expressão original, temos:
Passo 3
Agora, vamos focar em
. Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então, estamos lidando com uma forma do tipo
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos usar logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 4
Vamos chamar o limite de
:
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 5
Agora, temos que resolver
. Sabemos que, para
próximo de 0,
. Então, podemos aproximar:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
. Vamos reescrever isso como:
Essa expressão está na forma
, uma indeterminação. Aí é onde aplicamos a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 7
Derivando o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Passo 8
Então, encontramos que
. Para achar
, tiramos o exponencial dos dois lados:
Resposta
O limite é igual a 1.
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