Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lt)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite de quando se aproxima de 0. A matéria aqui envolve funções trigonométricas e limites, e vamos precisar usar propriedades de logaritmos e entender como funções exponenciais se comportam perto de pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que é igual a . Então, substituindo isso na expressão original, temos:

Passo 3

Agora, vamos focar em . Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Então, estamos lidando com uma forma do tipo , que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos usar logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos chamar o limite de :
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 5

Agora, temos que resolver . Sabemos que, para próximo de 0, . Então, podemos aproximar:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar . Vamos reescrever isso como:
Essa expressão está na forma , uma indeterminação. Aí é onde aplicamos a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 7

Derivando o numerador e o denominador:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, aplicando a Regra de L’Hôpital:

Passo 8

Então, encontramos que . Para achar , tiramos o exponencial dos dois lados:

Resposta

O limite é igual a 1.

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