Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lu)
Passo 1
Entendendo o Enunciado e o Conteúdo Envolvido
Vamos resolver o limite
usando a Regra de L’Hôpital. Esse tipo de limite envolve potências onde a base e o expoente tendem a zero, criando uma forma indeterminada
. Para resolver isso, precisamos usar propriedades de logaritmos e a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites indeterminados.
Passo 2
Transformando o Limite para Facilitar a Resolução
Primeiro, vamos simplificar o limite aplicando o logaritmo natural. Isso facilita o manejo da potência indeterminada:
Agora, nosso objetivo é encontrar
e depois usar esse resultado para encontrar
.
Passo 3
Analisando a Forma Indeterminada
Quando
se aproxima de 4,
se aproxima de 0. Portanto:
-
-
, que tende a
Assim, temos a forma
, que é indeterminada. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Reescrevendo o Limite para Aplicar a Regra de L’Hôpital
Vamos reescrever
como uma fração:
Agora, precisamos encontrar:
Essa forma é
, que ainda é indeterminada, mas podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital
A Regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Calculando as derivadas:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Então, o limite fica:
Passo 6
Voltando ao Limite Original
Sabemos que:
Para encontrar
, aplicamos a exponenciação dos dois lados:
Resposta
O limite
é igual a 1.
Exercícios relacionados
Existe um campo vetorial
tal que
? Explique.
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lo)
Mostre que
.
Use a reagra da cadeia para determinar
.
.