Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lu)

Passo 1

Entendendo o Enunciado e o Conteúdo Envolvido
Vamos resolver o limite usando a Regra de L’Hôpital. Esse tipo de limite envolve potências onde a base e o expoente tendem a zero, criando uma forma indeterminada . Para resolver isso, precisamos usar propriedades de logaritmos e a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites indeterminados.

Passo 2

Transformando o Limite para Facilitar a Resolução
Primeiro, vamos simplificar o limite aplicando o logaritmo natural. Isso facilita o manejo da potência indeterminada:
Agora, nosso objetivo é encontrar e depois usar esse resultado para encontrar .

Passo 3

Analisando a Forma Indeterminada
Quando se aproxima de 4, se aproxima de 0. Portanto:
  • , que tende a
Assim, temos a forma , que é indeterminada. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Reescrevendo o Limite para Aplicar a Regra de L’Hôpital
Vamos reescrever como uma fração:
Agora, precisamos encontrar:
Essa forma é , que ainda é indeterminada, mas podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital
A Regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite da forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Calculando as derivadas:
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
Então, o limite fica:

Passo 6

Voltando ao Limite Original
Sabemos que:
Para encontrar , aplicamos a exponenciação dos dois lados:

Resposta

O limite é igual a 1.

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Existe um campo vetorial tal que ? Explique.
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lo)
Mostre que .
Use a reagra da cadeia para determinar .
.