Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lu) lim x 4[3(x-4)]^(x-4)

Passo 1

Entendendo o Enunciado e o Conteúdo Envolvido
Vamos resolver o limite usando a Regra de L’Hôpital. Esse tipo de limite envolve potências onde a base e o expoente tendem a zero, criando uma forma indeterminada . Para resolver isso, precisamos usar propriedades de logaritmos e a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites indeterminados.

Passo 2

Transformando o Limite para Facilitar a Resolução
Primeiro, vamos simplificar o limite aplicando o logaritmo natural. Isso facilita o manejo da potência indeterminada:
ln L = ln([3(x - 4)]^(x - 4)) = (x - 4) cdot ln[3(x - 4)]
Agora, nosso objetivo é encontrar e depois usar esse resultado para encontrar .

Passo 3

Analisando a Forma Indeterminada
Quando se aproxima de 4, se aproxima de 0. Portanto:
  • , que tende a
Assim, temos a forma , que é indeterminada. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Reescrevendo o Limite para Aplicar a Regra de L’Hôpital
Vamos reescrever ln L = ln[3(x - 4)]1x - 4 como uma fração:
limx 4 ln[3(x - 4)]1x - 4
Agora, precisamos encontrar:
Essa forma é , que ainda é indeterminada, mas podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital
A Regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite da forma limx 4 ln[3(x - 4)]1x - 4 = limx 4 ddx ln[3(x - 4)]ddx (1x - 4) ou ddx ln[3(x - 4)] = 33(x - 4) cdot 3 = 1x - 4 , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
ddx (1x - 4) = -1(x - 4)^2
Calculando as derivadas:
  • Derivada do numerador:
limx 4 1x - 4-1(x - 4)^2 = limx 4 - (x - 4) = -0 = 0
  • Derivada do denominador:
Então, o limite fica:

Passo 6

Voltando ao Limite Original
Sabemos que:
ln L = 0
Para encontrar L = e^ln L = e^0 = 1 , aplicamos a exponenciação dos dois lados:

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados