Determine a linearização da função no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a linearização dessa função no ponto .
O que é linearização? Basicamente, linearizar uma função em um ponto significa aproximá-la por uma reta (no caso de funções de uma variável) ou um plano (no caso de funções de duas variáveis) perto desse ponto. Essa aproximação é útil para simplificar cálculos quando estamos próximos ao ponto de interesse.
Matéria envolvida: Vamos usar derivadas parciais para encontrar a equação da reta tangente (ou plano tangente) que serve como a linearização da função no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o valor da função no ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos dirão como a função muda conforme nos movemos nas direções e .
Primeira derivada parcial em relação a :
Segunda derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a equação da linearização. A fórmula geral para a linearização de uma função de duas variáveis no ponto é:
Substituindo os valores que já calculamos:

Resposta

A linearização da função no ponto é:

Exercícios relacionados

Aproxime para a função usando a linearização no ponto .
Use a linearização da função no ponto para aproximar o valor de .
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(f) .
Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(b) .