Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a linearização dessa função no ponto .
O que é linearização? Basicamente, linearizar uma função em um ponto significa aproximá-la por uma reta (no caso de funções de uma variável) ou um plano (no caso de funções de duas variáveis) perto desse ponto. Essa aproximação é útil para simplificar cálculos quando estamos próximos ao ponto de interesse.
Matéria envolvida: Vamos usar derivadas parciais para encontrar a equação da reta tangente (ou plano tangente) que serve como a linearização da função no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o valor da função no ponto .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos dirão como a função muda conforme nos movemos nas direções e .
Primeira derivada parcial em relação a :
Segunda derivada parcial em relação a :
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas no ponto :
Passo 5
Com esses valores, podemos montar a equação da linearização. A fórmula geral para a linearização de uma função de duas variáveis no ponto é: