Use a linearização da função
no ponto
para aproximar o valor de
.
Passo 1
Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a linearização da função
no ponto
para aproximar o valor de
. Isso está relacionado ao estudo de aproximações lineares em cálculo, especificamente usando a equação da reta tangente para estimar valores próximos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a linearização. Basicamente, a linearização de uma função em um ponto nos dá uma aproximação linear (uma reta) que é tangente à função nesse ponto. Essa reta pode ser usada para estimar valores da função próximos ao ponto de tangência.
Passo 3
A fórmula da linearização de uma função de duas variáveis
em um ponto
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
:
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Vamos calcular
e
:
Passo 7
Agora, substituímos tudo na fórmula da linearização:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão para facilitar os cálculos:
Passo 9
Agora, vamos substituir
e
na equação da linearização:
Passo 10
Calculando os valores numéricos:
Então:
Resposta
Aproximadamente,
é igual a 1.5203.
Exercícios relacionados
Encontre a linearização da função
no ponto
.
Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F):
f) A derivada direcional pode ser escrita como o produto escalar entre o simétrico do gradiente e un vetor unitário .
f) A derivada direcional pode ser escrita como o produto escalar entre o simétrico do gradiente e un vetor unitário
Aproxime
para a função
usando a linearização no ponto
.
Determine a linearização da função
no ponto
.