Use a linearização da função no ponto para aproximar o valor de .

Passo 1

Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a linearização da função no ponto para aproximar o valor de . Isso está relacionado ao estudo de aproximações lineares em cálculo, especificamente usando a equação da reta tangente para estimar valores próximos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a linearização. Basicamente, a linearização de uma função em um ponto nos dá uma aproximação linear (uma reta) que é tangente à função nesse ponto. Essa reta pode ser usada para estimar valores da função próximos ao ponto de tangência.

Passo 3

A fórmula da linearização de uma função de duas variáveis em um ponto é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de :
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 6

Vamos calcular e :

Passo 7

Agora, substituímos tudo na fórmula da linearização:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão para facilitar os cálculos:

Passo 9

Agora, vamos substituir e na equação da linearização:

Passo 10

Calculando os valores numéricos:
Então:

Resposta

Aproximadamente, é igual a 1.5203.

Exercícios relacionados

Encontre a linearização da função no ponto .
Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F):
f) A derivada direcional pode ser escrita como o produto escalar entre o simétrico do gradiente e un vetor unitário .
Aproxime para a função usando a linearização no ponto .
Determine a linearização da função no ponto .