Determine a linha elástica para a viga em ba- <br> lanço, que está sujeita ao momento M0. Calcule tam- <br> bém a inclinação e a deflexão máximas da viga. E I é <br> constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a linha elástica de uma viga em balanço que está sujeita a um momento M0. Além disso, vamos calcular a inclinação e a deflexão máximas dessa viga. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos sólidos, especificamente sobre vigas e momento fletor. Vamos precisar das fórmulas que relacionam o momento fletor, a rigidez da viga ( EI) e a curvatura da mesma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a linha elástica. Ela representa a curva que a viga adota quando está sujeita a flexão. A equação básica que relaciona o momento fletor M(x) com a curvatura y''(x) da viga é:
EI cdot d^2 ydx^2 = M(x)
Aqui, EI é a rigidez da viga, onde E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia da seção transversal.

Passo 3

Como a viga está em balanço e sujeita a um momento constante M0 na extremidade livre, o momento fletor M(x) é igual a M0 em qualquer ponto da viga. Assim, a equação fica:
EI cdot d^2 ydx^2 = M0
Vamos resolver essa equa��ão diferencial para encontrar y(x), que é a linha elástica.

Passo 4

Integrando a equação duas vezes para encontrar y(x):
Primeira integração:
EI cdot dydx = M0x + C1
Segunda integração:
EI cdot y(x) = M02x^2 + C1x + C2
Agora, vamos aplicar as condições de contorno. Para uma viga em balanço:
  1. Na fixação ( x = 0):
    • Deflexão y(0) = 0
    • Inclinação y'(0) = 0
Aplicando y(0) = 0:
EI cdot 0 = M02(0)^2 + C1(0) + C2 Rightarrow C2 = 0
Aplicando y'(0) = 0:
EI cdot y'(0) = M0(0) + C1 Rightarrow C1 = 0
Então, a equação da linha elástica fica:
EI cdot y(x) = M02x^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inclinação máxima e a deflexão máxima:
  • Inclinação ( theta) é a derivada primeira de y(x):
dydx = M02EIx
A inclinação máxima ocorre na extremidade livre ( x = L):
thetamax = M0L2EI
  • Deflexão ( de) é a função y(x):
y(x) = M02EIx^2
A deflexão máxima também ocorre na extremidade livre ( x = L):
de

Resposta

A linha elástica da viga em balanço é dada por:
y(x) = M02EIx^2
A inclinação máxima na extremidade livre é:
thetamax = M0L2EI
E a deflexão máxima na extremidade livre é:
de

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