Determine m de forma que w=(2, m, 5-m) seja combinação linear de u=(2,3,5) e v=(4,-1,2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o vetor w = (2, m, 5 - m) e queremos encontrar um valor para m de forma que esse vetor seja uma combinação linear dos vetores u = (2, 3, 5) e v = (4, -1, 2). Isso significa que queremos encontrar escalares a e b tais que:
w = au + bv
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação da combinação linear componente por componente. Ou seja, cada componente de w deve ser igual à combinação correspondente das componentes de u e v:
2 = 2a + 4b m = 3a - b 5 - m = 5a + 2b

Passo 3

Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( a e b) e um parâmetro m. Para que exista uma solução para a e b, as equações devem ser consistentes. Vamos resolver o sistema para encontrar a e b em função de m.

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis, por exemplo, a:
2 = 2a + 4b Rightarrow 2a = 2 - 4b Rightarrow a = 1 - 2b

Passo 5

Agora, substituímos a = 1 - 2b na segunda equação:
m = 3(1 - 2b) - b m = 3 - 6b - b m = 3 - 7b
Isso nos dá uma relação entre m e b:
7b = 3 - m Rightarrow b = 3 - m7

Passo 6

Com b expresso em termos de m, usamos essa expressão na terceira equação do sistema:
5 - m = 5a + 2b
Substituindo a = 1 - 2b e b = 3 - m7:
5 - m = 5(1 - 2b) + 2b 5 - m = 5 - 10b + 2b 5 - m = 5 - 8b

Passo 7

Agora, isolamos m:
5 - m = 5 - 8b -m = -8b m = 8b
Mas sabemos que b = 3 - m7, então substituímos:
m = 8 ( 3 - m7 ) m = 24 - 8m7
Multiplicando ambos os lados por 7 para eliminar o denominador:
7m = 24 - 8m 7m + 8m = 24 15m = 24 m = 2415 m = 85

Resposta

Portanto, o valor de m que faz com que w seja uma combinação linear de u e v é m = 85.

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