Seja a função
definida por
em que
e
. Mostre que esta função é um produto interno em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente tem uma função que pega dois vetores em
e retorna um número real. O objetivo é mostrar que essa função é um produto interno. Para isso, vamos precisar saber quais são as propriedades que definem um produto interno e verificar se a nossa função as satisfaz todas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial precisa satisfazer quatro propriedades básicas:
- Comutatividade:
- Linearidade no primeiro argumento:
, onde e são escalares. - Positividade:
para todo vetor , e se e somente se é o vetor nulo. - Distribuição sobre a adição:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa função.
Passo 3
1. Comutatividade
Vamos calcular
e
:
Observamos que
,
e
. Ou seja:
Portanto, a propriedade de comutatividade é satisfeita.
Passo 4
2. Linearidade no primeiro argumento
Vamos verificar se
.
Calculando o lado esquerdo:
Isso mostra que a linearidade no primeiro argumento está ok.
Passo 5
3. Positividade
Vamos calcular
:
Cada termo
,
, e
é maior ou igual a zero, já que um quadrado nunca é negativo. Portanto:
Além disso,
se e somente se
, ou seja, se
for o vetor nulo. Assim, a propriedade de positividade também é satisfeita.
Passo 6
4. Distribuição sobre a adição
Vamos verificar se
.
Calculando o lado esquerdo:
Então, a distribuição sobre a adição também está validada.
Resposta
Como todas as propriedades de um produto interno estão satisfeitas pela função dada, concluímos que
é realmente um produto interno em
.