Seja a função lang<=cdot, cdotrang<=: R^3 times R^3 R definida por
lang<= x, yrang<==4 x1 y1+x2 y2+4 x3 y3
em que x=(x1, x2, x3) e y=(y1, y2, y3). Mostre que esta função é um produto interno em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente tem uma função que pega dois vetores em e retorna um número real. O objetivo é mostrar que essa função é um produto interno. Para isso, vamos precisar saber quais são as propriedades que definem um produto interno e verificar se a nossa função as satisfaz todas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial precisa satisfazer quatro propriedades básicas:
  1. Comutatividade:
  2. Linearidade no primeiro argumento: , onde e são escalares.
  3. Positividade: para todo vetor , e se e somente se é o vetor nulo.
  4. Distribuição sobre a adição:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa função.

Passo 3

1. Comutatividade
Vamos calcular lang<= x, y rang<= = 4x1y1 + x2y2 + 4x3y3 e lang<= y, x rang<= = 4y1x1 + y2x2 + 4y3x3 :
lang<= x, y rang<= = lang<= y, x rang<=
Observamos que , e . Ou seja:
Portanto, a propriedade de comutatividade é satisfeita.

Passo 4

2. Linearidade no primeiro argumento
Vamos verificar se lang<= ax + bz, y rang<= = 4(ax1 + bz1)y1 + (ax2 + bz2)y2 + 4(ax3 + bz3)y3 .
Calculando o lado esquerdo:
= a(4x1y1 + x2y2 + 4x3y3) + b(4z1y1 + z2y2 + 4z3y3)
= alang<= x, y rang<= + blang<= z, y rang<=
Isso mostra que a linearidade no primeiro argumento está ok.

Passo 5

3. Positividade
Vamos calcular lang<= x, x rang<= = 4x1^2 + x2^2 + 4x3^2 :
lang<= x, x rang<= >= 0
Cada termo , , e é maior ou igual a zero, já que um quadrado nunca é negativo. Portanto:
Além disso, se e somente se , ou seja, se for o vetor nulo. Assim, a propriedade de positividade também é satisfeita.

Passo 6

4. Distribuição sobre a adição
Vamos verificar se lang<= x + y, z rang<= = 4(x1 + y1)z1 + (x2 + y2)z2 + 4(x3 + y3)z3 .
Calculando o lado esquerdo:
= 4x1z1 + 4y1z1 + x2z2 + y2z2 + 4x3z3 + 4y3z3
= lang<= x, z rang<= + lang<= y, z rang<=
Então, a distribuição sobre a adição também está validada.

Resposta

Como todas as propriedades de um produto interno estão satisfeitas pela função dada, concluímos que é realmente um produto interno em .

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