Determine m de modo que os planos pi1 e pi2 sejam perpendiculares.
31. Determine uma equação geral do plano que passa pelos pontos A(-3,1,-2) e B(-1,2,1) e é paralela a reta
pi: x2=z-3 ; y=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos e e que é paralelo a uma certa reta dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o plano ser paralelo à reta x2 = z-3; y = 4 . Se uma reta é paralela a um plano, o vetor diretor da reta está contido no plano. A equação da reta x = 2t, y = 4, z = -3t está dada de forma paramétrica:
AB = B - A = (-1 - (-3), 2 - 1, 1 - (-2)) = lang<= 2, 1, 3 rang<=
Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro n = i & j & k 2 & 1 & 3 2 & 0 & -3 = i(1 cdot (-3) - 3 cdot 0) - j(2 cdot (-3) - 3 cdot 2) + k(2 cdot 0 - 1 cdot 2) :
n = i(-3) - j(-6 - 6) + k(0 - 2) = lang<= -3, 12, -2 rang<=
Dessa forma, o vetor diretor da reta -3(x - x0) + 12(y - y0) - 2(z - z0) = 0 é -3(x + 3) + 12(y - 1) - 2(z + 2) = 0 .
Agora, precisamos de dois vetores que estão no plano que queremos encontrar. Sabemos que o plano passa pelos pontos -3x - 9 + 12y - 12 - 2z - 4 = 0 -3x + 12y - 2z - 25 = 0 e 3x - 12y + 2z + 25 = 0 , então podemos formar o vetor :
Esse vetor está no plano.
Como o vetor diretor também está no plano, temos dois vetores no plano: e . Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que podemos encontrar através do produto vetorial desses dois vetores.
Calculando o produto vetorial :
Agora que temos o vetor normal , podemos usar a equação do plano na forma:
Escolhemos um dos pontos que estão no plano, por exemplo, o ponto :
Expandindo e simplificando:
Para deixar a equação mais “limpa”, podemos multiplicar todos os termos por -1:

Resposta

A equação geral do plano é:
3x - 12y + 2z + 25 = 0

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