Determine de modo que os planos e sejam perpendiculares.
31. Determine uma equação geral do plano que passa pelos pontos e e é paralela a reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos e e que é paralelo a uma certa reta dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o plano ser paralelo à reta . Se uma reta é paralela a um plano, o vetor diretor da reta está contido no plano. A equação da reta está dada de forma paramétrica:
Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro :
Dessa forma, o vetor diretor da reta é .
Agora, precisamos de dois vetores que estão no plano que queremos encontrar. Sabemos que o plano passa pelos pontos e , então podemos formar o vetor :
Esse vetor está no plano.
Como o vetor diretor também está no plano, temos dois vetores no plano: e . Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que podemos encontrar através do produto vetorial desses dois vetores.
Calculando o produto vetorial :
Agora que temos o vetor normal , podemos usar a equação do plano na forma:
Escolhemos um dos pontos que estão no plano, por exemplo, o ponto :
Expandindo e simplificando:
Para deixar a equação mais “limpa”, podemos multiplicar todos os termos por -1:

Resposta

A equação geral do plano é:

Exercícios relacionados

Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
b) e
Em cada um dos itens abaixo determine os v
  1. .