Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção: r1:ly=2 x+3 z=-x+5 e r2:ly=-3 x+7 z=x+1
b) r1: x-32=y+1-3=z-24 e r2: lx=-1+t y=4-t z=-8+3 t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, a reta e a reta , definidas de formas diferentes. Nossa missão é verificar se essas retas se cruzam em algum ponto (ou seja, se são concorrentes) e, se sim, encontrar esse ponto de interseção. Para isso, vamos usar a parametrização das retas e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Vamos começar parametrizando a reta x - 32 = y + 1-3 = z - 24 . A reta x = 3 + 2s y = -1 - 3s z = 2 + 4s está definida pelas equações simétricas:
x = -1 + t y = 4 - t z = -8 + 3t
Podemos introduzir um parâmetro para representar essas equações de forma paramétrica:
Agora, a reta já está dada em forma paramétrica com o parâmetro :

Passo 3

Para encontrar se as retas se cruzam, vamos igualar as coordenadas correspondentes de 3 + 2s = -1 + t -1 - 3s = 4 - t 2 + 4s = -8 + 3t e :
Agora, temos um sistema de três equa��ões com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 4

Primeiro, da primeira equação:
3 + 2s = -1 + t Rightarrow t = 2s + 4 (Equação 1) çã
Da segunda equação:
-1 - 3s = 4 - t
Substituindo -1 - 3s = 4 - (2s + 4) -1 - 3s = 4 - 2s - 4 -1 - 3s = -2s -1 = s da Equação 1:
t = 2(-1) + 4 = -2 + 4 = 2
Agora que encontramos , substituímos na Equação 1 para achar :

Passo 5

Agora, vamos verificar se esses valores de 2 + 4s = -8 + 3t e 2 + 4(-1) = -8 + 3(2) 2 - 4 = -8 + 6 -2 = -2 satisfazem a terceira equação:
Substituindo e :
Como a igualdade é verdadeira, concluímos que as retas se cruzam no ponto correspondente a esses valores.

Resposta

As retas e são concorrentes no ponto de interseção .

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