Determine para que os vetores sejam linearmente independentes. e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o valor de tal que os vetores , e sejam linearmente independentes. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no tópico de independência linear. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores , e como colunas de uma matriz :
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 2 cdot det 4 & xi 0 & 1 - (-6) cdot det xi^2 - 1 & xi 0 & 1 + 0 cdot det xi^2 - 1 & 4 0 & 0 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a expansão por cofatores:
Passo 4
Vamos calcular cada um dos menores:
4 & xi 0 & 1
xi^2 - 1 & xi 0 & 1
O terceiro menor é multiplicado por zero, então não precisamos calcular.
Passo 5
Substituindo os valores dos menores na expressão do determinante: