Determine para que os vetores sejam linearmente independentes. e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o valor de tal que os vetores , e sejam linearmente independentes. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no tópico de independência linear. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores , e como colunas de uma matriz :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a expansão por cofatores:

Passo 4

Vamos calcular cada um dos menores:
  1. O terceiro menor é multiplicado por zero, então não precisamos calcular.

Passo 5

Substituindo os valores dos menores na expressão do determinante:
Simplificando:

Passo 6

Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
Resolvendo a inequação:

Passo 7

Observamos que sempre é maior ou igual a zero, então nunca é igual a . Isso significa que o determinante nunca será zero para qualquer valor real de .

Resposta

Para qualquer valor real de , os vetores , e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Seja uma curva parametrizada, com para todo . Prove que é constante não zero se, somente se é ortogonal a para todo .
Sejam e bases dos espaços vetoriais e , respectivamente. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, tal que seja a matriz:
7a
Determine para que os vetores sejam linearmente independentes. e .
Determine para que os vetores sejam linearmente dependentes. e .