Determine xi in R para que os vetores u, v, w in R^3 sejam linearmente independentes. u=(2, xi^2-1,0), v=(-6,4,0) e w=(0, xi, 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o valor de tal que os vetores , e sejam linearmente independentes. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no tópico de independência linear. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores A = 2 & -6 & 0 xi^2 - 1 & 4 & xi 0 & 0 & 1 , e como colunas de uma matriz :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 2 cdot det 4 & xi 0 & 1 - (-6) cdot det xi^2 - 1 & xi 0 & 1 + 0 cdot det xi^2 - 1 & 4 0 & 0 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a expansão por cofatores:

Passo 4

Vamos calcular cada um dos menores:
  1. 4 & xi 0 & 1
  2. xi^2 - 1 & xi 0 & 1
  3. O terceiro menor é multiplicado por zero, então não precisamos calcular.

Passo 5

Substituindo os valores dos menores na expressão do determinante:
det(A) = 2 cdot 4 - (-6) cdot (xi^2 - 1) + 0 = 8 + 6(xi^2 - 1)
Simplificando:
det(A) = 8 + 6xi^2 - 6 = 6xi^2 + 2

Passo 6

Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
6xi^2 + 2 neq 0
Resolvendo a inequação:
6xi^2 neq -2 xi^2 neq -26 xi^2 neq -13

Passo 7

Observamos que sempre é maior ou igual a zero, então nunca é igual a . Isso significa que o determinante nunca será zero para qualquer valor real de .

Resposta

Para qualquer valor real de , os vetores , e são linearmente independentes.

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