Determine para que os vetores sejam linearmente independentes. e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o valor de tal que os vetores , e sejam linearmente independentes. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no tópico de independência linear. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores , e como colunas de uma matriz :
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a expansão por cofatores:
Passo 4
Vamos calcular cada um dos menores:
O terceiro menor é multiplicado por zero, então não precisamos calcular.
Passo 5
Substituindo os valores dos menores na expressão do determinante:
Simplificando:
Passo 6
Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
Resolvendo a inequação:
Passo 7
Observamos que sempre é maior ou igual a zero, então nunca é igual a . Isso significa que o determinante nunca será zero para qualquer valor real de .
Resposta
Para qualquer valor real de , os vetores , e são linearmente independentes.