Determine para que os vetores sejam linearmente independentes. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o valor de para que os vetores , e sejam linearmente independentes no espaço . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear de vetores. Para isso, vamos precisar usar o conceito de determinante de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Três vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Uma maneira prática de verificar isso é formando uma matriz com esses vetores e calculando o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos montar uma matriz usando os vetores , e como colunas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz é calculado assim:
Aplicando isso à nossa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
Podemos fatorar:
Isso significa que e . Portanto:
Resposta
Os vetores , e são linearmente independentes para todo valor de real, exceto quando ou . Ou seja, .