Determine xi in R para que os vetores u, v, w in R^3 sejam linearmente independentes. u=(xi, 1, xi+1), v=(0,1, xi) e w=(0, xi, 2 xi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o valor de para que os vetores , e sejam linearmente independentes no espaço . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear de vetores. Para isso, vamos precisar usar o conceito de determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Três vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Uma maneira prática de verificar isso é formando uma matriz com esses vetores e calculando o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar uma matriz A = xi & 0 & 0 1 & 1 & xi xi + 1 & xi & 2xi usando os vetores , e como colunas:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante de uma matriz det(A) = xi cdot (1 cdot 2xi - xi cdot xi) - 0 cdot (1 cdot 2xi - (xi + 1) cdot xi) + 0 cdot (1 cdot xi - (xi + 1) cdot 1) é calculado assim:
det(A) = xi (2xi - xi^2)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = xi (2xi - xi^2) = 2xi^2 - xi^3
Simplificando:

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
2xi^2 - xi^3 neq 0
Podemos fatorar:
xi^2 (2 - xi) neq 0
Isso significa que xi neq 0 e xi neq 2 e . Portanto:

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes para todo valor de real, exceto quando ou . Ou seja, .

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