Determine para que os vetores sejam linearmente independentes. e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o valor de para que os vetores , e sejam linearmente independentes no espaço . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear de vetores. Para isso, vamos precisar usar o conceito de determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Três vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Uma maneira prática de verificar isso é formando uma matriz com esses vetores e calculando o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar uma matriz usando os vetores , e como colunas:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz é calculado assim:
Aplicando isso à nossa matriz:
Simplificando:

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
Podemos fatorar:
Isso significa que e . Portanto:

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes para todo valor de real, exceto quando ou . Ou seja, .

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