Determine m e n para que se tenha: (m, n, 2) times(4,-1,3)=(8,-1,-11)
c) (m, n, 2) cdot((3,1,2) times(0,1,-1))=9

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar os valores de e que satisfazem as seguintes equações vetoriais:
Para isso, vamos utilizar conhecimentos de álgebra vetorial, especificamente sobre produto vetorial e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a primeira equação envolvendo o produto vetorial:
A times B = (Ay Bz - Az By, Az Bx - Ax Bz, Ax By - Ay Bx)
O produto vetorial de dois vetores (m, n, 2) times (4, -1, 3) = ( n cdot 3 - 2 cdot (-1), 2 cdot 4 - m cdot 3, m cdot (-1) - n cdot 4 ) = (3n + 2, 8 - 3m, -m - 4n) e (3n + 2, 8 - 3m, -m - 4n) = (8, -1, -11) é dado por:
3n + 2 = 8 8 - 3m = -1 -m - 4n = -11
Aplicando isso aos nossos vetores:
Igualando aos componentes do vetor resultante:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeira equação:
3n + 2 = 8 3n = 8 - 2 3n = 6 n = 2
Segunda equação:
8 - 3m = -1 -3m = -1 - 8 -3m = -9 m = 3
Vamos verificar na terceira equação para confirmar:
-3 - 4(2) = -3 - 8 = -11
Está correto!

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda equação fornecida no exercício:
(3, 1, 2) times (0, 1, -1) = (1 cdot (-1) - 2 cdot 1, 2 cdot 0 - 3 cdot (-1), 3 cdot 1 - 1 cdot 0) = (-1 - 2, 0 + 3, 3 - 0) = (-3, 3, 3)
Primeiro, calculamos o produto vetorial (m, n, 2) cdot (-3, 3, 3) = m cdot (-3) + n cdot 3 + 2 cdot 3 = -3m + 3n + 6 :
-3m + 3n + 6 = 9 -3m + 3n = 3
Agora, calculamos o produto escalar com -m + n = 1 n = m + 1 :
2 = 3 + 1 2 = 4
Igualando a 9:
Simplificando dividindo por 3:
Sabemos de que e . Vamos verificar:
Não coincide! Isso significa que houve um erro. Vamos revisar nossos cálculos.

Passo 5

Revisando, percebemos que na primeira equação encontramos n = m + 1 2 = 3 + 1 2 = 4 e 3n + 2 = 8 8 - 3m = -1 -m - 4n = -11 . Substituindo na segunda equação:
3n + 2 = 8 3n = 6 n = 2
Isso não faz sentido. Portanto, devemos ter cometido um erro na resolução inicial.
Vamos reconsiderar o sistema de equações obtido no Passo 2:
8 - 3m = -1 -3m = -9 m = 3
A resolução correta do sistema é:
Primeira equação:
-3 - 4(2) = -3 - 8 = -11
Segunda equação:
Terceira equação:
Está correta, então o erro está na segunda parte do exercício. Talvez o valor de e não satisfazem ambas as equações simultaneamente, indicando que não há solução que satisfaça ambas as condições.

Resposta

Não existem valores de e que satisfaçam simultaneamente ambas as equações fornecidas.

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