Sejam e transformações lineares tais que
onde e são bases de e respectivamente.
a) Determine base para e
b) Determine base para e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe envolve transformações lineares entre espaços vetoriais. Especificamente, temos duas transformações:
As matrizes dessas transformações estão dadas nas bases e . No item a), precisamos encontrar uma base para o Núcleo de ( ) e para a Imagem de ( ).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, núcleo e imagem, além de como trabalhar com matrizes representativas dessas transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo e a imagem de uma transformação linear.
  • Núcleo ( ): Conjunto de todos os vetores de que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja,
  • Imagem ( ): Conjunto de todos os vetores em que são imagens de vetores de através de . Ou seja,
Para encontrar uma base para esses conjuntos, vamos trabalhar com a matriz representativa de , que é dada em relação às bases e .

Passo 3

A matriz de na base de e na base de é:
Para facilitar, vamos chamar essa matriz de . Então,
Vamos usar essa matriz para encontrar o Núcleo e a Imagem de .

Passo 4

Encontrando o Núcleo de ( )

Para encontrar o núcleo, precisamos resolver a equação , onde é um vetor em .
Escrevendo o sistema:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, da terceira equação:
Com , a segunda equação fica:
Substituindo na primeira equação:
Então, temos:
Isso significa que qualquer vetor no núcleo tem a forma:

Passo 6

Portanto, o núcleo de é gerado pelo vetor . Assim, uma base para é:

Passo 7

Encontrando a Imagem de ( )

A imagem de é gerada pelas colunas da matriz . Então, inicialmente, consideramos os vetores coluna:
Para encontrar uma base, precisamos identificar quais dessas colunas são linearmente independentes.

Passo 8

Vamos verificar se as colunas são lineares.
Assume que:
Isso resulta no sistema:
De terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Isso significa que há infinitas soluções, mas e . Portanto, as colunas não são todas linearesmente independentes.

Passo 9

Assim, as colunas e são linearmente independentes, e pode ser expressa como combinação delas.
Portanto, uma base para é formada por e :

Resposta

a) Uma base para é e uma base para é .

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Mostre que o conjunto é uma base de
Calcule os valores de e para que as matrizes A e B sejam iguais.
e
Sejam e transformações lineares. Mostre que é uma transformação linear
Determine e para que se tenha:
c)