Sejam T: R^3 P2(R) e S: P2(R) R^3 transformações lineares tais que
[T]B, C=[ccc 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 ],[S]B, C=[ccc 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 2 ]
onde B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) e C=1,1+x, 1+x^2 são bases de B e C respectivamente.
a) Determine base para Nuc(T) e Im(T)
b) Determine base para N u c(S circ T) e Im(s circ T)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe envolve transformações lineares entre espaços vetoriais. Especificamente, temos duas transformações:
As matrizes dessas transformações estão dadas nas bases e . No item a), precisamos encontrar uma base para o Núcleo de ( ) e para a Imagem de ( ).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, núcleo e imagem, além de como trabalhar com matrizes representativas dessas transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo e a imagem de uma transformação linear.
  • Núcleo ( Nul(T) = v in R^3 mid T(v) = 0 ): Conjunto de todos os vetores de Im(T) = T(v) mid v in R^3 que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja,
  • Imagem ( ): Conjunto de todos os vetores em que são imagens de vetores de através de . Ou seja,
Para encontrar uma base para esses conjuntos, vamos trabalhar com a matriz representativa de , que é dada em relação às bases e .

Passo 3

A matriz de [T]B, C = 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 na base A = 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 de e na base de é:
Para facilitar, vamos chamar essa matriz de . Então,
Vamos usar essa matriz para encontrar o Núcleo e a Imagem de .

Passo 4

Encontrando o Núcleo de 1x1 + 2x2 - x3 = 0 1x1 + 0x2 - x3 = 0 0x1 + 1x2 + 0x3 = 0 ( )

Para encontrar o núcleo, precisamos resolver a equação , onde é um vetor em .
Escrevendo o sistema:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, da terceira equação:
x2 = 0
Com x1 - x3 = 0 implies x1 = x3 , a segunda equação fica:
x1 + 2(0) - x3 = 0 implies x1 - x3 = 0 implies x1 = x3
Substituindo x1 = x3 x2 = 0 na primeira equação:
x = x1 0 x1 = x1 1 0 1
Então, temos:
Isso significa que qualquer vetor no núcleo tem a forma:

Passo 6

Portanto, o núcleo de 1 0 1 é gerado pelo vetor 1 0 1 . Assim, uma base para é:

Passo 7

Encontrando a Imagem de a1 = 1 1 0 , a2 = 2 0 1 , a3 = -1 -1 0 ( )

A imagem de é gerada pelas colunas da matriz . Então, inicialmente, consideramos os vetores coluna:
Para encontrar uma base, precisamos identificar quais dessas colunas são linearmente independentes.

Passo 8

Vamos verificar se as colunas são lineares.
Assume que:
c1 a1 + c2 a2 + c3 a3 = 0
Isso resulta no sistema:
c1 (1) + c2 (2) + c3 (-1) = 0 c1 (1) + c2 (0) + c3 (-1) = 0 c1 (0) + c2 (1) + c3 (0) = 0
De terceira equação:
c2 = 0
Substituindo c1 - c3 = 0 implies c1 = c3 na segunda equação:
c1 cdot 1 + 0 cdot 2 + c1 cdot (-1) = 0 implies c1 - c1 = 0 implies 0 = 0
Substituindo na primeira equação:
Isso significa que há infinitas soluções, mas e . Portanto, as colunas não são todas linearesmente independentes.

Passo 9

Assim, as colunas 1 1 0 , 2 0 1 e são linearmente independentes, e pode ser expressa como combinação delas.
Portanto, uma base para é formada por e :

Resposta

a) Uma base para 1 0 1 é 1 1 0 e uma base para 2 0 1 é .

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