onde B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) e C=1,1+x, 1+x^2 são bases de B e C respectivamente.
a) Determine base para Nuc(T) e Im(T)
b) Determine base para N u c(S circ T) e Im(s circ T)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe envolve transformações lineares entre espaços vetoriais. Especificamente, temos duas transformações:
As matrizes dessas transformações estão dadas nas bases e . No item a), precisamos encontrar uma base para o Núcleo de () e para a Imagem de ().
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, núcleo e imagem, além de como trabalhar com matrizes representativas dessas transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo e a imagem de uma transformação linear.
Núcleo ( Nul(T) = v in R^3 mid T(v) = 0 ): Conjunto de todos os vetores de Im(T) = T(v) mid v in R^3 que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja,
Imagem (): Conjunto de todos os vetores em que são imagens de vetores de através de . Ou seja,
Para encontrar uma base para esses conjuntos, vamos trabalhar com a matriz representativa de , que é dada em relação às bases e .
Passo 3
A matriz de [T]B, C = 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 na base A = 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 de e na base de é:
Para facilitar, vamos chamar essa matriz de . Então,
Vamos usar essa matriz para encontrar o Núcleo e a Imagem de .