Sejam e transformações lineares. Mostre que é uma transformação linear
Passo 1
Então, temos duas transformações lineares, e . O objetivo aqui é mostrar que a composição dessas duas transformações, , também é uma transformação linear. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como a composição delas funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes condições são satisfeitas:
(preserva a adição)
(preserva a multiplicação por escalar)
Passo 3
Agora, vamos verificar se a composição também satisfaz essas duas propriedades.
Primeiro, para a adição:
Como é linear:
Então:
Isso mostra que a composição preserva a adição.
Passo 4
Agora, para a multiplicação por escalar:
Como é linear:
Então:
Isso mostra que a composição preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
Portanto, a composição é uma transformação linear.