Sejam T1: V W e T2: W U transformações lineares. Mostre que T2 circ T1: V U é uma transformação linear

Passo 1

Então, temos duas transformações lineares, e . O objetivo aqui é mostrar que a composição dessas duas transformações, , também é uma transformação linear. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como a composição delas funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes condições são satisfeitas:
  1. (preserva a adição)
  2. (preserva a multiplicação por escalar)

Passo 3

Agora, vamos verificar se a composição (T2 circ T1)(u + v) = T2(T1(u + v)) também satisfaz essas duas propriedades.
Primeiro, para a adição:
T1(u + v) = T1(u) + T1(v)
Como T2(T1(u) + T1(v)) = T2(T1(u)) + T2(T1(v)) = (T2 circ T1)(u) + (T2 circ T1)(v) é linear:
Então:
Isso mostra que a composição preserva a adição.

Passo 4

Agora, para a multiplicação por escalar:
(T2 circ T1)(cu) = T2(T1(cu))
Como T1(cu) = cT1(u) é linear:
T2(cT1(u)) = cT2(T1(u)) = c(T2 circ T1)(u)
Então:
Isso mostra que a composição preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Portanto, a composição é uma transformação linear.

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