Sejam e transformações lineares. Mostre que é uma transformação linear

Passo 1

Então, temos duas transformações lineares, e . O objetivo aqui é mostrar que a composição dessas duas transformações, , também é uma transformação linear. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como a composição delas funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes condições são satisfeitas:
  1. (preserva a adição)
  2. (preserva a multiplicação por escalar)

Passo 3

Agora, vamos verificar se a composição também satisfaz essas duas propriedades.
Primeiro, para a adição:
Como é linear:
Então:
Isso mostra que a composição preserva a adição.

Passo 4

Agora, para a multiplicação por escalar:
Como é linear:
Então:
Isso mostra que a composição preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Portanto, a composição é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Sejam e transformações lineares tais que
onde e são bases de e respectivamente.
a) Determine base para e
b) Determine base para e
Sejam e espaços vetoriais de dimensão finita sobre o corpo . Sejam e bases de e respectivamente. Defina : como
Mostre que o conjunto é uma base de
Determine e para que se tenha:
c)
Sejam transformações Lineares. Sejam e bases de e , respectivamente. Mostre que