Sejam
transformações Lineares. Sejam
e
bases de
e
, respectivamente. Mostre que
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado: temos duas transformações lineares,
e
, que vão de um espaço vetorial
para outro espaço
. Além disso, temos bases
para
e
para
. O que queremos mostrar é que a matriz da transformação
em relação às bases
e
é igual à soma das matrizes de
e de
multiplicada por
. Para isso, vamos precisar conhecer como representamos transformações lineares via matrizes e como a soma de tais transformações se relaciona com a soma de suas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear
pode ser representada por uma matriz em relação às bases
e
. Essa matriz, denotada por
, tem colunas que são as coordenadas das imagens dos vetores da base
sob
, expressas na base
.
Passo 3
Agora, consideremos a transformação linear
. Por definição, para qualquer vetor
,
. Queremos encontrar a matriz dessa transformação,
.
Passo 4
Vamos analisar como fica cada coluna de
. Para cada vetor da base
, digamos
, temos que:
Isso significa que cada coluna da matriz
é a soma das colunas correspondentes de
e
.
Passo 5
Portanto, ao montar a matriz
, estamos basicamente somando as matrizes
e
, coluna a coluna. Isso segue porque a representação matricial de uma soma de transformações lineares é a soma das representações matriciais.
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Determine
e
para que se tenha:
c)
c)
Sejam
e
transformações lineares. Mostre que
é uma transformação linear
Calcular
.
Dadas as matrizes:
e
Dadas as matrizes: