Sejam T, S: V W transformações Lineares. Sejam B e C bases de V e W, respectivamente. Mostre que [T+lambda S]B, C=[T]B, C+lambda[S]B, C

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado: temos duas transformações lineares, e , que vão de um espaço vetorial para outro espaço . Além disso, temos bases para e para . O que queremos mostrar é que a matriz da transformação em relação às bases e é igual à soma das matrizes de e de multiplicada por . Para isso, vamos precisar conhecer como representamos transformações lineares via matrizes e como a soma de tais transformações se relaciona com a soma de suas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz em relação às bases e . Essa matriz, denotada por , tem colunas que são as coordenadas das imagens dos vetores da base sob , expressas na base .

Passo 3

Agora, consideremos a transformação linear . Por definição, para qualquer vetor , . Queremos encontrar a matriz dessa transformação, .

Passo 4

Vamos analisar como fica cada coluna de (T + lambda S)(bi) = T(bi) + lambda S(bi) . Para cada vetor da base , digamos , temos que:
Isso significa que cada coluna da matriz é a soma das colunas correspondentes de e .

Passo 5

Portanto, ao montar a matriz , estamos basicamente somando as matrizes e , coluna a coluna. Isso segue porque a representação matricial de uma soma de transformações lineares é a soma das representações matriciais.

Resposta

Assim, mostramos que:
[T + lambda S]B,C = [T]B,C + lambda [S]B,C

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